Metrik Stetigkeit offene Mengen Bälle

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frustrierter Auf diesen Beitrag antworten »
Metrik Stetigkeit offene Mengen Bälle
Meine Frage:
Seien (X,dx) und (Y,dy) metrische Räume und f:X->Y. Zeigen sie die Äquivalenz folgender Aussagen.

(i) f ist stetig.
(ii) Für alle x0 in X und epsilon > 0 existiert ein delta mit B(x0,delta) Teilmenge von f^-1(B(f(x0),epsilon)).
(iii) Für alle offenen Mengen U Teilmenge von Y ist auch f^-1(U) Teilmenge von X offen.

Meine Ideen:
Ich sitze schon 10 Stunden an dieser verdammten Aufgabe, habe letzte Nacht nur 5 Stunden geschlafen und muss sie morgen früh abgeben, wobei das nur die erste von 3 ist. Bis jetzt habe ich nur (i) => (ii), beim Rest fällt mir einfach nichts ein.

(i) => (ii):

Angenommen x -> x0 und f ist stetig. Dann f(x) = f(x0). Damit f^-1(B(f(x0),epsilon)) = f^-1{f(x)|dy(f(x0),f(x)<epsilon}=f^-1{f(x)|0<epsilon}, was immer wahr ist, also ist die Aussage wahr.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von frustrierter
Angenommen x -> x0 und f ist stetig. Dann f(x) = f(x0).

Das klingt schon mal äußerst seltsam: Wieso sollen die Funktionswerte bereits in der Annäherung gleich sein? Erstaunt1

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Um alles sauber aufzuschreiben, solltest du dich genau an die Definition von stetigen Funktionen in metrischen Räumen halten, wie ihr sie kennengelernt habt (es gibt da ja im Detail Nuancen in der Formulierung). Z.B. ist es bisweilen üblich, dass man Stetigkeit genauso definiert wie in (ii), in dem Fall wäre hinsichtlich gar nichts zu beweisen. Bei euch ist das offenbar anders, also raus mit der Sprache.
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