Diskretes Wachstum mit Störung zweiter Ordnung

12.01.2018, 10:27

xxJan

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Diskretes Wachstum mit Störung zweiter Ordnung

Hallo zusammen,

Meine Aufgabe:

Verbreitung einer Nachricht durch Rundfunk/Fernsehen: Ein Werbespot werde durch Fernsehen ausgestrahlt.

a) Ermitteln Sie ein Modell zur Beschreibung der Informationsausbreitung in einem Land mit B Einwohnern. Also ein Modell für die Anzahl I der Leute, die den Werbespot gesehen haben.

b) Nach welcher Zeit haben 90% der Bevölkerung den Werbespot gesehen, wenn er einmal täglich ausgestrahlt wird und jeder Einwohner im Mittel täglich eine Stunde diesen Sender sieht?

zu a) Wie im Titel beschrieben gehe ich von dem diskreten Wachstum mit Störung zweiter Ordnung aus. Dementsprechend , wäre das Modell $\begin{eqnarray*} I=k*y_{0}*(B-y_{0}) \end{eqnarray*}$ .
(Leider bin ich mir nicht sicher ob dies das ist was von der Aufgabenstellung verlangt wird).

Zu b) Da ich vom diskreten Wachstum mit Störung zweiter Ordnung ausgehe ergibt sich dafür die Formel:

$\begin{eqnarray*} \frac{B}{\frac{B-y_{0}}{y_{0}}*(1+B*k*\Delta t)^{-n}+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B = \end{eqnarray*}$ Obergrenze; $\begin{eqnarray*} y_{0} = \end{eqnarray*}$ Startwert; $\begin{eqnarray*} k*B = \end{eqnarray*}$ anfänglicher Wachstumsparameter pro Zeiteinheit( $\begin{eqnarray*} k = \frac{1}{24} \end{eqnarray*}$ ); $\begin{eqnarray*} \Delta t_{0} \end{eqnarray*}$ .

Leider weiß ich nicht wie ich berechnen soll nach welcher Zeit 90% der Einwohner den Werbespot gesehen haben, wenn ich weder eine Obergrenze noch einen Startwert gegeben habe.

Ich hatte dann mal meinen Dozenten gefragt der meinte für $\begin{eqnarray*} y_{0} \end{eqnarray*}$ müsse man $\begin{eqnarray*} \frac{B}{b+1} \end{eqnarray*}$ einsetzen, als ich ihn fragte was b ist meinte er eine variable. dementsprechend war das nicht so wirklich hilfreich.

Aber ich vermute mal, dass $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_{0} \end{eqnarray*}$ bzw. eben der andere Ausdruck als Variablen in der Formel sein müssen. Dementsprechend habe ich das ein oder andere Problem beim berechnen von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$

Ich hoffe einer von euch kann mir ein bisschen auf die Sprünge helfen.

15.01.2018, 14:33

xxJan

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RE: Diskretes Wachstum mit Störung zweiter Ordnung
Ich weiß der Text sieht abschreckend aus, aber es wäre trotzdem echt cool wenn einer eine Idee hätte... traurig

traurig

15.01.2018, 14:53

HAL 9000

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Ich weiß deine vielen Begriffe und Symbole nicht einzuordnen, hier nur meine einfacher gestrickten Überlegungen:

Wenn wir mal von einem 24h-Programm ausgehen, und jeder Bewohner seine tägliche Fernsehstunde unabhängig von den anderen gleichverteilt über den Tag legt (ziemlich realitätsferne Annahme, aber lassen wir das erstmal auf sich beruhen), dann sieht jeder den Spot mit Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} \frac{1}{24} \end{align*}$ an einem Tag, d.h. mit Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} \frac{23}{24} \end{align*}$ nicht.

Sei nun $\begin{align*} z_k \end{align*}$ die Anzahl der Leute, die den Spot bis einschließlich Tag $\begin{align*} k \end{align*}$ nicht gesehen haben. Mit Start $\begin{align*} z_0=B \end{align*}$ (am Anfang kennt ihn keiner) und Rekursion $\begin{align*} z_k = \frac{23}{24}z_{k-1} \end{align*}$ ergibt sich die geometrische Folge $\begin{align*} z_k = B\cdot \left(\frac{23}{24}\right)^k \end{align*}$ , aus der sich der Zeitpunkt des Erreichens der 90%-Marke Seher (d.h. 10% Nichtseher) leicht ermitteln lässt.

15.01.2018, 16:48

xxJan

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Sorry, dass meine Aussagen nicht so ideal sind. Ich hatte versucht irgendwie das mitzuteilen was ich an Infos habe, nur irgendwie hat es das wohl komplizierter gemacht...

Okay ich denke das habe ich soweit verstanden, nur brauche ich dann nicht normalerweise das B zum errechnen?

16.01.2018, 10:20

xxJan

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Ist nur die Frage wenn ich eben keinen richtigen Wert für B habe, dann kann ich daraus ja keinen genauen Wert für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ bestimmen oder nicht?

16.01.2018, 10:38

xxJan

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RE: Diskretes Wachstum mit Störung zweiter Ordnung
Wenn ich sage:

$\begin{eqnarray*} B=1 \end{eqnarray*}$ wegen 100% haben den Spot nicht gesehen. Und $\begin{eqnarray*} z_{0}=0,1 \end{eqnarray*}$ wegen 10% sollen den Spot nicht gesehen haben, dann komme ich auf 54,1026 für n aber ich habe keine Ahnung ob die Annahme so richtig ist.

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16.01.2018, 14:26

mYthos

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Die Formel zu Beginn ähnelt sehr jener des begrenzten bzw. logistischen Wachstums.
(Diff.gl. nach Verhulst bzw. f '(t) = k*f(t)*(S-f(t), Änderungsrate ist abhängig von 2 Parametern: Mom. Bestand und Sättigungsmanko).
Damit wäre B in deiner Formel eindeutig die Obergrenze (Sättigungswert, besser mit S bezeichnet, b beeinflusst den Anfangsbestand)

$\begin{eqnarray*} f(t) = \frac S {1 + be^{-kt}} \end{eqnarray*}$ Die Einheit von t ist 1 h [(1/24) d]

$\begin{eqnarray*} f(t) = \frac {100} {1 + 70 \cdot e^{-0.12t}} \end{eqnarray*}$ , Obergrenze S = 100, Startwert = [Edit (mY+): Korrigiert] 100/71 = rd. 1.4%, 0 kann er bei dieser Funktion nicht werden (!)

[attach]46297[/attach]

Damit ist (54 h; 90%) ein realistischer Wert.

Nun könnte man - davon ausgehend - die obige Beziehung mit deiner Formel verifizieren, z.B. mittels GeoGebra (wie in meiner Grafik), interessant wär's allemal.

mY+

16.01.2018, 14:38

HAL 9000

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Ich frage mich gerade, wie man den langsamen Anstieg am Anfang modellmäßig einordnet:

Wird der Spot seltener ausgestrahlt? Oder ist das Fernsehverhalten der Leute so, dass sie erst infolge Mundpropaganda von Leuten, die den Spot schon gesehen haben, einschalten?

Bei letzterem würde mir logistisches Wachstum einleuchten, aber da gehört schon viel Reindeuten rein, was oben so direkt nicht zu lesen ist (gerade b) ist explizit anders zu lesen). verwirrt

verwirrt

16.01.2018, 15:08

mYthos

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Der Grund für den langsamen Anstieg zu Beginn liegt daran, dass anfangs der momentane Bestand sehr gering ist und die hohe Spanne des Sättigungsmankos nicht genügend durchschlagen kann.
Im Wendepunkt macht sich der Einfluss des Bestandes und des Sättungsmankos gleichermaßen bemerkbar.
Gegen Ende ist der geringe Abstand zur Obergrenze (zum Sättigungswert) auch der Grund für den geringen Anstieg. Daran kann auch der relativ hohe Wert der Bestandsgröße nicht mehr viel ändern.

Natürlich ist diese Funktion auch nur ein Modell (oftmals aber ein gut geeignetes). In wieweit dieses hier die Realität genügend abbildet, kann man bestenfalls mittels einer Reihe vorliegender Messdaten (Datensätze) erfassen.
Auch eine Regression von vorliegenden Daten mittels einer anderen, besser geeigneten Funktion wäre denkbar.
Dahingehend müsste man sich die von xxJan angegebene Funktion mal näher ansehen (kommt Zeit, kommt .. Big Laugh

Big Laugh

)

mY+

16.01.2018, 15:18

HAL 9000

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Ich wollte eigentlich keinen allgemeinen Vortrag zu logistischem Wachstum hören. Sondern verstehen, wieso das hier bei den Vorgaben angeblich anwendbar sein soll. verwirrt

verwirrt

16.01.2018, 15:35

xxJan

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Ich hätte Da mal eine Frage zum $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und zum Startwert.

Hast du dich für $\begin{eqnarray*} S=100 \end{eqnarray*}$ entschieden weil es nicht mehr als 100% gesehen haben können?

Und das zweite wäre du hast ja für den Startwert $\begin{eqnarray*} \frac{100}{70} \end{eqnarray*}$ genommen wieso hast du bei der Berechnung den gewählt?

16.01.2018, 15:53

mYthos

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich wollte eigentlich keinen allgemeinen Vortrag zu logistischem Wachstum hören ...

Dieser war auch nicht (nur) für dich bestimmt! Wir haben ja auch noch xxJan hier.
---------
Die Theorie der Geschwindigkeit der Informationsverbreitung (u.a. Verbreitung eines Gerüchtes) ist wesentlich komplizierter. Aber wollen wir (noch) am Boden bleiben.

Bevor ich zur Frage von xxJan komme, habe ich auch noch mit einer anderen Funktion experimentiert, jener des begrenzten Wachstums, die hat den Vorteil des schnelleren Anstiegs im unteren Bereich.

[attach]46298[/attach]
------------------------------

@xxJan
Ja, S = 100 aus diesem Grund.
Der Startwert ergibt sich aus der Funktionsgleichung, wenn t = 0 gesetzt wird, f(t) = 100/71
(da hatte ich einen kleinen Fehler, 100/70 stimmt nicht ganz ..)
Mittels b (das war 70) kann man noch den Startwert und wie schnell man sich S annähert beeinflussen.

Edit:

Nun wurde noch mit der Funktion (Kurve) von xxJan ergänzt. Wie zu erwarten, gleichen sich die (logistischen) Graphen.

[attach]46300[/attach]

"Reindeuten" bzw. "angeblich anwendbar" ist zu hinterfragen, steht aber auf einem anderen Blatt.
Ich habe mich eigentlich nur auf die angegebene Funktion beziehen und deren Ähnlichkeit mit dem logistischen Wachstum zeigen wollen.
Und auch geschrieben, dass die Problematik der Modellierung noch weiterer Untersuchungen bedarf.
----------
@xxJan: Ich kann dir das GGB senden, wenn du es verwenden willst.

mY+

16.01.2018, 17:06

HAL 9000

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Dann einigen wir uns so, dass das logistische Modell die einzuhaltende Vorgabe ist, und Information

Zitat:

Original von xxJan
b) [...] und jeder Einwohner im Mittel täglich eine Stunde diesen Sender sieht?

als zu ignorierende FakeNews zu betrachten ist - zumindest am Anfang der Informationsverbreitung.

16.01.2018, 20:34

xxJan

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Zitat:

Ja, S = 100 aus diesem Grund.
Der Startwert ergibt sich aus der Funktionsgleichung, wenn t = 0 gesetzt wird, f(t) = 100/71
(da hatte ich einen kleinen Fehler, 100/70 stimmt nicht ganz ..)
Mittels b (das war 70) kann man noch den Startwert und wie schnell man sich S annähert beeinflussen.

woher weiß ich denn für die Zukunft welchen Wert b hat?

Zitat:

@xxJan: Ich kann dir das GGB senden, wenn du es verwenden willst.

Das wäre mega cool danke smile

smile

17.01.2018, 21:38

mYthos

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Die Datei kannst du natürlich nur mit der Anwendung GeoGebra öffnen, das ist dir klar?
Das Programm ist kostenlos und liegt derzeit in der Version 6 vor (ich verwende noch die Version 5).

[attach]46347[/attach]

mY+

21.01.2018, 13:32

xxJan

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Sorry das ich jetzt erst zum schreiben komme...

Vielen Dank für eure Hilfe und auch für das GGB. smile

smile

Zitat:

Die Datei kannst du natürlich nur mit der Anwendung GeoGebra öffnen, das ist dir klar?

Okay vielen dank für den Hinweis dann weiß ich Bescheid Wink

Wink

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