nichtlineare inhomogene DGL 2.Ordnung

13.01.2018, 11:41

Dmpartyrock

nichtlineare inhomogene DGL 2.Ordnung

Hallo,
ich bräuchte mal Hilfe bei der 2.DGL von der Nummer 50 auf dem Foto.Um die homogene Lösung habe ich mich schon gekümmert.

Meine Ideen:
Hab bei der speziellen Lösung als Ansatz genommen. $\begin{eqnarray*} y_{p} =acos(t)+bsin(t)+ct+d \end{eqnarray*}$
Wenn ich das jetzt in die DGL einsetze,dann steht da: $\begin{eqnarray*} -acos(t)-bsin(t)+acos(t)+bsin(t)+ct+d=2cos(t)+t \end{eqnarray*}$
Wie man jetzt leicht sieht,streichen sich die trigonometrischen Terme einfach weg,was aber ungünstig ist.Jetzt weis ich nicht,wie ich weiter verfahren soll.Tipps wären echt klasse!

13.01.2018, 11:48

HAL 9000

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Dein Ansatz ist unzureichend:

$\begin{align*} \sin(t),\cos(t) \end{align*}$ sind bereits Lösungen der homogenen Gleichung, es liegt daher hier Resonanz vor. Der passende Ansatz ist daher $\begin{align*} y_p =at\cos(t)+bt\sin(t)+ct+d \end{align*}$ .

13.01.2018, 11:55

Dmpartyrock

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Ok,ich habe bei der homogenen Lösung aber $\begin{eqnarray*} y_{h}=c_{1} +c_{2}e^{-t} \end{eqnarray*}$ raus verwirrt

.Und als Lösungamsatz hatte ich $\begin{eqnarray*} y_{h}=e^{at} \end{eqnarray*}$

13.01.2018, 12:00

HAL 9000

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Das ist nicht die Lösung der homogenen Gleichung $\begin{align*} x''+x=0 \end{align*}$ . unglücklich

Was du da berechnet hast passt als Lösung der Gleichung $\begin{align*} x''+x'=0 \end{align*}$ .

P.S.: Das "nichtlinear" in deiner Threadüberschrift ist Unsinn. Deine DGL ist inhomogen linear.

13.01.2018, 12:12

Dmpartyrock

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Hast recht.Hab ,wie du gesagt hast,die beiden Ableitungen des Lösungsansatzes miteinander vertauscht.Jetzt müsste ich das hinbekommen.Danke schon mal für die Hilfe. Freude

Hab als homogene Lösung jetzt raus: $\begin{eqnarray*} x(t)=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{t} \end{eqnarray*}$

13.01.2018, 12:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dmpartyrock
Hab als homogene Lösung jetzt raus: $\begin{eqnarray*} x(t)=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{t} \end{eqnarray*}$

Nein, das ist die homogene Lösung der DGL $\begin{align*} x''-x = 0 \end{align*}$ .

Im dritten Versuch sollte es jetzt aber werden (zumal ich die Lösungen oben ja schon genannt hatte...). Augenzwinkern

13.01.2018, 12:30

Dmpartyrock

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Ok diesmal habe ich raus: $\begin{eqnarray*} x(t)=c_{1}e^{it}+c_{2}e^{-it}=c_{1}(cos(t)+isin(t))+c_{2}(cos(t)-isin(t)) \end{eqnarray*}$

13.01.2018, 12:37

HAL 9000

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Richtig, wobei man das ganze durch Reparametrisierung der Koeffizienten auch als $\begin{align*} \tilde{c}_1\cos(t) + \tilde{c}_2\sin(t) \end{align*}$ schreiben kann (konkret wäre das dann $\begin{align*} \tilde{c}_1 = c_1+c_2 \end{align*}$ und $\begin{align*} \tilde{c}_2 = ic_1-ic_2 \end{align*}$ , aber es ist eigentlich unwichtig, wie das konkret aussieht - wichtig ist nur, dass " $\begin{align*} c_1,c_2 \end{align*}$ beliebig komplex wählbar" dann mit " $\begin{align*} \tilde{c}_1,\tilde{c}_2 \end{align*}$ beliebig komplex wählbar" korrespondiert).

13.01.2018, 12:44

Dmpartyrock

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Ok,hab jetzt für die spezielle Lösung raus: $\begin{eqnarray*} y_{p}=tsin(t)+t \end{eqnarray*}$

13.01.2018, 12:55

HAL 9000

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Ok, das stimmt (diesmal hatte ich mich verrechnet Augenzwinkern

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