Minimalpolynom, Restklassenkörper

13.01.2018, 14:14

paulou

Minimalpolynom, Restklassenkörper

Meine Frage:
Ist es zulässig, wenn das Minimalpolynom einer Matrix über einem Restklassenkörper z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{7} \end{eqnarray*}$ gesucht ist, dieses zuerst über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ zu bestimmen und dann die enstandenen Koeffizienten modulo 7 zu rechnen?

Meine Ideen:
Meinen Überlegungen nach müsste dieser Gedanke stimmen, denn bei der Bestimmung des Minimalpolynoms wird lediglich addiert, subtrahiert und multipliziert und diese Operationen "schaden" dem späteren modulo-Rechnen doch eigentlich nicht.

Ich finde dazu nichts im Internet, würde aber gerne wissen, ob das so stimmt, wäre also sehr nett, wenn das jemand verifizieren oder falsifizieren könnte smile

13.01.2018, 15:53

tatmas

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Hallo,

ja es ist zulässig.
Es ist aber oft keine gute Idee.
Es ist viel sinnvoller direkt modulo 7 zu rechnen, allein schon weil dort keine großen Zahlen entstehen.

13.01.2018, 16:02

paulou

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Ja, das stimmt wahrscheinlich, war eh eher eine theoretische Überlegung. Vielen Dank für die schnelle Antwort! Wink

14.01.2018, 10:51

zweifelnder_gast

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}14&7\\7&14\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} X^2-28X+147 \end{eqnarray*}$ . Über $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_7 \end{eqnarray*}$ ist die Matrix aber die Nullmatrix, das Minimalpolynom mithin schlicht $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

14.01.2018, 13:55

paulou

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Da aber hier X mal X gleich X ist und 28 und 147 ebenfalls 0 kommt man doch wieder auf das gleiche, oder?

14.01.2018, 18:20

zweifelnder_gast

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Zitat:

Original von paulou
Da aber hier X mal X gleich X ist und 28 und 147 ebenfalls 0 kommt man doch wieder auf das gleiche, oder?

Nö, das ist falsch. $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist nicht das gleiche wie $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ .

Also nochmal klarer: Mit der Methode, die du vorschlägst, bekommst du immer nur ein Vielfaches des Minimalpolynoms, nicht notwendigerweise das MiPo selbst...

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