Untergruppe

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Hendrik32 Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppe
Hallo,
ich habe eine Frage zu folgendem Beweis:
Ist , so ist eine Untergruppe der Ordnung m von G.

Also die Gruppe hat ja m-Elemente und es gilt
Warum rechnet man dann im Beweis mit Division mit Rest?
Warum schreibt man für r zwischen 0 und m-1.
Das r nur diese Werte annehmen kann, ist klar, jedoch nicht die Division mit Rest.
Kann da jmd weiterhelfen? verwirrt verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hendrik32
Warum rechnet man dann im Beweis mit Division mit Rest?

Dann schreib doch erstmal den Beweis hin, von dem du da redest - wir sind keine Gedankenleser.

m fällt auch vom Himmel bei dir - ich nehme an, es ist m=ord(a) vorausgesetzt (was du auch weggelassen hast) ?
 
 
g4lois Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hendrik,

die Aufgabe samt Beweis erscheint mir in deiner genannten Form unvollständig. Ich kann mir aber vorstellen, wie es aussehen soll.

Sei eine Gruppe und . Dann ist eine Untegruppe von mit der Ordnung .

An deiner genannten Stelle wendet man das Untergruppenkriterium an:

Zitat:
Eine nichtleere Menge ist eine Untergruppe von , wenn .


Das bedeutet konkret: Für muss gelten.

Nun existieren mit und , woraus folgt .
Hendrik32 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von g4lois




Nun existieren mit und , woraus folgt .


Genau das ist es, was auch HAL angemerkt hat smile
Diese Stelle, die ich zitiert habe, ist genau der Knackpunkt, den ich nicht verstehe. Warum schaut man da etwas mit Rest an? verwirrt

Aber danke für deine ausführliche Anwort smile
g4lois Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hendrik32
Diese Stelle, die ich zitiert habe, ist genau der Knackpunkt, den ich nicht verstehe.
(...)
Aber danke für deine ausführliche Anwort smile

Ich dachte mein Beitrag beantwortet schon deine Frage?!

Weil du zeigen sollst, dass . Und liegt nunmal wegen in . Einfacher kann ich es leider nicht erklären. Da muss dann jemand anders ran. smile
Hendrik32 Auf diesen Beitrag antworten »


Wie kommt man darauf? verwirrt
g4lois Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die Division mit Rest. Zu zwei ganzen Zahlen und existieren eindeutig bestimmte ganze Zahlen mit und . Durch die Beschränkung des Rests wird die Eindeutigkeit gewährleistet.
Hendrik32 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber warum macht man die division mit Rest. Was will man denn teilen?
g4lois Auf diesen Beitrag antworten »

Man will den Exponenten umformen, so dass am Ende der gesamten Gleichungskette übrig bleibt, von dem man weiß, dass es in liegt.

Warum man das ganze macht? Weil es geht! Augenzwinkern
Hendrik32 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wann will ja am Ende von i-j im Exponentem darauf kommen, dass das r ist, denn r ist eine zahl zwischen 0 und m-1. Ok jede Zahl kann man ja eben mit mq+r zerlegen, wobei r der Rest einedeutig ist. Aber warum betracht man am Ende dieses r, also dem Rest?
g4lois Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hendrik32
Aber warum betracht man am Ende dieses r, also dem Rest?

Mich stört das Wort "betrachten" ein wenig. ist das Ergebnis elementarer Umformungen. Man will zeigen, dass in liegt. Dazu formt man diesen Ausdruck um und stößt letztlich auf mit , also , wie oben schon erwähnt. Man weiß, dass , also auch . Was zu zeigen war!
Hendrik32 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bleibt für mich noch die Frage warum ma weis dass a^r in H liegt, wenn r der Rest ist?
g4lois Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage muss du dir jetzt selbst beantworten. Da weigere ich mich. Augenzwinkern

Welche Bedingung gilt für und wie sieht die Menge aus? Ließ dir nochmal alle Beiträge gründlich durch (inkl. deinen Startbeitrag), dann sollte es klar sein.
Hendrik32 Auf diesen Beitrag antworten »

Die menge enthält doch m Elemente wobei a^m=e ist,d.h dass das r zwischen 0 und m-1 sein muss. Trotzdem ist mir noch nicht klar warum das was mit Rest ist. geschockt geschockt
g4lois Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hendrik32
Die menge enthält doch m Elemente ...

Ja, und in deinem ersten Beitrag hast du sie sogar angedeutet: . Jetzt hast du mit . Meinst du nicht, dass dann gilt? verwirrt

Zitat:
Original von Hendrik32
... d.h dass das r zwischen 0 und m-1 sein muss.

ist zwischen 0 und m-1, wie wir oben gezeigt haben.

Zitat:
Original von Hendrik32
Trotzdem ist mir noch nicht klar warum das was mit Rest ist.

Ich habe das Gefühl du nimmst das Wort "Rest" in irgendeiner Weise zu wörtlich. Leider kann ich mich beim besten Willen nicht in deine Lage versetzen. Hilft es dir, wenn wir durch einen anderen Buchstaben ersetzen und nicht mehr als Rest, sondern nur als ganze Zahl zwischen 0 und m-1 auffassen?
Hendrik32 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt glaub ich habe ich es verstanden. Ich habe anscheinend wirklich den Rest zu wörtlich genommen. Wenn ich r als Zahl zwischen 0 und m-1 sehe, dann gibt das ja alles einen Sinn. Die Division mit Rest war also nur mittel zum Zweck smile smile
g4lois Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hendrik32
Die Division mit Rest war also nur mittel zum Zweck smile smile

Ja, so kann man das sehen.
Hendrik32 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe. Ich wünsch dir einen schönen Abend smile
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