Konvergenz einer Reihe

13.01.2018, 19:06

Snexx_Math

Konvergenz einer Reihe

Hallo zusammen,

Ich würde gerne wissen , warum die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n!}{(-n)^{n}} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Quotientenkriterium : $\begin{eqnarray*} \Bigg | \frac{a_{n+1}}{a_n} \Bigg | = \Bigg | \frac{(n+1)! \cdot (-n)^{n}}{n! \cdot (-n-1)^{n}} \Bigg | = \frac{(n+1) \cdot (-n)^{n}}{ (-n-1)^{n}} = (n+1) \cdot \Bigg ( \frac{-n}{-n-1} \Bigg )^{n} = (n+1) \cdot \Bigg ( \frac{n}{n+1} \Bigg )^{n} \end{eqnarray*}$

EDIT: $\begin{eqnarray*} = (n+1) \cdot \Bigg ( \frac{n}{n+1} \Bigg )^{n} \end{eqnarray*}$ geht meiner Meinung nach einem Wert >1 , aber weiß ehrlich gesagt nicht weiter

EDIT 2 : Hab nen Fehler gemacht. Es müsste heißen : $\begin{eqnarray*} \Bigg | \frac{a_{n+1}}{a_n} \Bigg | = \Bigg | \frac{(n+1)! \cdot (-n)^{n}}{n! \cdot (-n-1)^{n+1}} \Bigg | = \frac{(n+1) \cdot (-n)^{n}}{ (-n-1)^{n+1}} = (n+1) \cdot \Bigg ( \frac{-n}{-n-1} \Bigg )^{n} \cdot \frac{1}{-n-1} \rightarrow ( n \rightarrow \infty) = 0 \end{eqnarray*}$ Daher konvergiert die Reihe

13.01.2018, 19:50

HAL 9000

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Du rechnest immer noch falsch: Tatsächlich ist

$\begin{align*} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{(n+1)! \cdot n^n}{n! \cdot (n+1)^{n+1}} = \frac{(n+1) \cdot n!\cdot n^n}{n!\cdot (n+1)\cdot (n+1)^n} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \to \frac{1}{e} \end{align*}$ für $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ .

13.01.2018, 20:04

Snexx_Math

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Wie kommt man denn von $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} = \frac{1}{(1+ \frac{1}{n})^{n}} \end{eqnarray*}$

Also der Zähler begründet das man mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{n}} \end{eqnarray*}$ sowohl im Zähler als auch im Nenner multipliziert hat.

Aber $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n}}{n^{n}} = (\frac{n+1}{n})^{n} \rightarrow (n \rightarrow \infty) = 1 \end{eqnarray*}$

EDIT: Hab meinen Denkfehler erkannt: $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n}}{n^{n}} = (\frac{n+1}{n})^{n} = (1 +\frac{1}{n})^{n} \end{eqnarray*}$

13.01.2018, 20:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Snexx_Math
Aber $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n}}{n^{n}} = (\frac{n+1}{n})^{n} \rightarrow (n \rightarrow \infty) = 1 \end{eqnarray*}$

Also so langsam blamierst du dich unsterblich: Hast du denn nie die Grenzwertbildung von $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ in der Schule behandelt. unglücklich

13.01.2018, 20:35

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
Hast du denn nie die Grenzwertbildung von $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ in der Schule behandelt. unglücklich

Ach, HAL! Wüßtest du, was heute in der Schule noch so behandelt wird ... traurig

13.01.2018, 20:40

Snexx_Math

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Ja der Fehler war ziemlich dumm, aber ich schieb das jetzt mal auf die Tatsache , dass ich seit morgens um 10:00 lerne und so langsam ist die Luft echt raus ... traurig

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