Das Minimalpolynom bestimmen

13.01.2018, 20:13	dav000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Minimalpolynom bestimmen Hallo, ich möchte das Minimalpolynom für die Matrix bestimmen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}.<br /> \end{eqnarray}$ Aber ich möchte das ohne das Potenzieren zu machen. Ich möchte einen Algorithmus benutzen, den ich kenne aber ich weiß nicht, wie ich das genau machen soll. Hier ist der Algorithmus: Gegeben: $\begin{eqnarray} \alpha \in End(\mathbb V), \mathbb V \end{eqnarray}$ endlich erzeugter K-VR. Gesucht: $\begin{eqnarray} \mu_{\alpha}(x) \end{eqnarray}$ Algorithmus: 1) Wähle $\begin{eqnarray} v \in \mathbb V-\{0\} \end{eqnarray}$ . 2) Bestimme das Minimalpolynom $\begin{eqnarray} \mu_{\alpha, v}(x) \end{eqnarray}$ von v, setze $\begin{eqnarray} \mathbb W:=K[\alpha]v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu(x) := \mu_{\alpha, v}(x) \end{eqnarray}$ . 3) Solange $\begin{eqnarray} \mathbb W \neq \mathbb V, \end{eqnarray}$ wähle $\begin{eqnarray} v \in \mathbb V - \mathbb W \end{eqnarray}$ , und bestimme das Minimalpolynom $\begin{eqnarray} \mu_{\alpha, v}(x) \end{eqnarray}$ . Ersetze $\begin{eqnarray} \mu(x) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} kgV(\mu(x),\mu_{\alpha, v}(x)) = \frac{\mu(x)\mu_{\alpha, v}(x)}{ggT(\mu(x),\mu_{\alpha, v}(x))} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb W \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \mathbb W+K[\alpha]v. \end{eqnarray}$ Falls $\begin{eqnarray} \mathbb W \neq \mathbb V, \end{eqnarray}$ wiederhole Schritt 3. 4) Sobald $\begin{eqnarray} \mathbb W = \mathbb V \end{eqnarray}$ ist, gilt $\begin{eqnarray} \mu_{\alpha}(x)=\mu(x) \end{eqnarray}$ . (Ich habe mehrmals überprüft: es gibt keine Tippfehler.) Kann mir jemand damit helfen?
13.01.2018, 23:02	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, beginne am besten mit dem ersten Einheitsvektor v_1:=e_1. Multipliziere deine Matrix einmal mit diesem Vektor, dann erhältst du gerade die erste Spalte der Matrix, v_2:=(1,3,4,3)^T. Nun prüfst du, ob diese beiden Vektoren linear abhängig sind. Ist natürlich nicht der Fall, also machst du weiter: Multipliziere die Matrix mit (1,3,4,3)^T. Heraus kommt, glaube ich, v_3:=(16,14,17,19)^T. Nun prüfst du wieder auf lineare Abhängigkeit. Ist - falls das Ergebnis stimmt - wieder nicht der Fall, also machst du wieder weiter. Ob v_4 von den restlichen linear abhängig ist, weiß ich nicht. Aber sagen wir mal, er wäre es. Dann bekommen wir also eine Linearkombination $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^4 \lambda_k v_k = 0 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \lambda_4\neq 0 \end{eqnarray}$ , da ja die ersten drei Vektoren linear unabhängig waren. Da ja die v_1, ..., v_4 durch fortgesetztes Aufmultiplizieren der Matrix entstanden sind, kann man dies nun auch schreiben als $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^4 \lambda_k A^{k-1}e_1 = 0 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \left(\lambda_1 + \lambda_2 A + \lambda_3 A^2 + \lambda_4 A^3\right) e_1 = 0 \end{eqnarray}$ . Dies liefert mit $\begin{eqnarray} \mu_{A,e_1} = \lambda_1 + \lambda_2 x + \lambda_3 x^2 + \lambda_4 x^3 \end{eqnarray}$ einen ersten Teiler des gesuchten Minimalpolynoms. Theoretisch könntest du so mit allen vier Einheitsvektoren weitermachen und wärst fertig. Könnte aber etwas Arbeit bedeuten. Daher gilt es auch, einen möglichst guten Blick zu haben. Die vierte Spalte der Matrix ist nur der vierte Einheitsvektor. Also gilt auf jeden Fall $\begin{eqnarray} (A-1)e_4 = 0 \end{eqnarray}$ , so dass also $\begin{eqnarray} \mu_{A,e_4}=x-1 \end{eqnarray}$ ein weiterer Teiler der gesuchten Minimalpolynoms ist. Nun könntest du testen, ob das oben bereits gefundene $\begin{eqnarray} \mu_{A,e_1} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} x-1 \end{eqnarray}$ teilbar ist. Wenn nicht, dann folgt bereits $\begin{eqnarray} \mu_A = (x-1)\mu_{A,e_1} \end{eqnarray}$ , da das Minimalpolynom maximal Grad 4 hat. LG sibelius84
14.01.2018, 10:40	dav000	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Erklärung. Ich versuche es heute.

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