Gruppenbeweis

14.01.2018, 10:18	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenbeweis Hallo zusammen, folgende Aufgabe. Sei $\begin{eqnarray} ( G , \circ) \end{eqnarray}$ eine Gruppe mit neutralem Element e. Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray} x \circ x = e \ \ \forall x \in G \Rightarrow \end{eqnarray}$ G ist abelsch Mein Ansatz: Da $\begin{eqnarray} x \circ x = e \end{eqnarray}$ gilt, folgt $\begin{eqnarray} x=x^{-1} \end{eqnarray}$ . Und es gilt: $\begin{eqnarray} x \circ x^{-1} = x^{-1} \circ x = e \end{eqnarray}$ LG Snexx_Math
14.01.2018, 10:45	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Überlegung ist zwar richtig, besagt aber nicht mehr als die Voraussetzung. Bei derartigen Beweisen in Gruppen ist es oft sinnvoll ein e in geeigneter Darstellung zu multiplizieren. Zu zeigen ist $\begin{align} \forall x,y \in G:xy=yx \end{align}$
14.01.2018, 14:46	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Standardbeweis für $\begin{eqnarray} (G, \cdot ) \end{eqnarray}$ hab ich schon mal gesehen , aber das Problem hier ist doch dann , dass es nicht um die Verknüpfung $\begin{eqnarray} "\cdot " \end{eqnarray}$ geht , sondern um die Verknüpfung $\begin{eqnarray} "\circ " \end{eqnarray}$ Den Standardbeweis, den ich meine sah grob so aus $\begin{eqnarray} : xxy =xyy \end{eqnarray}$ und dann folgt weil $\begin{eqnarray} xx=e \wedge yy=e \Rightarrow x=y \Leftrightarrow y=x \end{eqnarray}$ Doch wie sieht das dann aus für den Fall hier ?
14.01.2018, 15:24	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie die Verknüpfung heisst spielt doch überhaupt keine Rolle. Du sollst lernen die Eigenschaften einer Gruppe zu nutzen. Ich würde eine Gleichungskette nehmen und gebe Dir sogar den ersten Schritt vor: $\begin{align} x \circ y=x \circ y \circ e=...=y \circ x \end{align}$
15.01.2018, 16:35	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
ich führe fort: $\begin{eqnarray} x \circ y = x \circ y \circ e = x \circ y \circ (x \circ x) = e \circ x \circ y \circ (x \circ x) = (y \circ y) \circ x \circ y \circ (x \circ x) = y \circ (y \circ x) \circ (y \circ x) \circ x = y \circ e \circ x = y \circ x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (y \circ x) \circ (y \circ x) =e \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \forall x \in G : x \circ x = e \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} (G , \circ ) \end{eqnarray}$ eine Gruppe : $\begin{eqnarray} y \circ x \in G \end{eqnarray}$ LG Snexx

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