Anwendung Satz von Rolle

14.01.2018, 13:45

Kathreena

Anwendung Satz von Rolle

1.)Kann man den Satz von Rolle für $\begin{eqnarray*} f:[2,4] \rightarrow \mathbb R , f(x) = (x-2)(x-3)(x-4) \end{eqnarray*}$
anwenden ? Wenn ja, bestimmen sie alle Punkte $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , die die Behauptung des entsprechenden Satzes erfüllen.

2.)Kann man den Mittelwertsatz für $\begin{eqnarray*} f:[3,7] \rightarrow \mathbb R , f(x) = \sqrt{x-3} \end{eqnarray*}$ anwenden? Wenn ja, bestimmen sie alle Punkte x_0, die die Behauptung des entsprechenden Satzes erfüllen.

Meine Idee:

Also ich habe nur die Definition der Sätze zur Hand, also gestaltet sich die Lösung hier sehr schwierig. Und ähnliche Beispiele finde ich irgendwie nicht.

1.) Innerhalb des Intervalls ist die Funktion offensichtlich Stetig und Differenzierbar, und 2 Extrema sind vorhanden. Also sollte ich den Satz von Rolle 2 mal anwenden können.

Zuerst kann ich die beiden Randpunkte einsetzen:
$\begin{eqnarray*} f(2) = (2-2)(2-3)(2-4) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(4) = (4-2)(4-3)(4-4) = 4 \end{eqnarray*}$

Dann hätte ich schonmal gefunden das, $\begin{eqnarray*} f(2) = f(4) \end{eqnarray*}$ .
Also $\begin{eqnarray*} \exists x_0 \in [2,4] : f'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Dann würde ich die 1. Ableitung der Funktion mal bilden:
$\begin{eqnarray*} f(x) = (x-2)(x-3)(x-4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3x^2-18x+26 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = 3x_0^2-18x_0+26 = 0 \end{eqnarray*}$
Dann habe ich 2 Lösungen:

x_0 = 3,577 und 2,42265

Und was nun ?

14.01.2018, 14:55

Leopold

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RE: Anwendung satz von rolle

Zitat:

Original von Kathreena
Also ich habe nur die Definition der Sätze zur Hand

"Definition der Sätze" - überlege, was du hier sagst!

Zitat:

Original von Kathreena
Innerhalb des Intervalls ist die Funktion offensichtlich Stetig und Differenzierbar

Welches Intervalls? Meinst du $\begin{align*} [2,4] \end{align*}$ oder $\begin{align*} (2,4) \end{align*}$ ? Lies dir die Voraussetzungen und die Behauptung des Satzes von Rolle und des Mittelwertsatzes durch. Verlange nicht zu viel, aber schließe auch nicht zu wenig.

Zitat:

Original von Kathreena
Also sollte ich den Satz von Rolle 2 mal anwenden können.

Auch diese Formulierung ist anstößig. Du kannst den Satz von Rolle nicht zweimal anwenden, denn es ist nur eine Situation gegeben. Daß der Existenzquantor die Existenz von mehreren Zahlen nicht ausschließt, steht auf einem anderen Blatt.

Zitat:

Original von Kathreena
Und was nun ?

Du hast die Aufgabe gelöst.

14.01.2018, 17:27

Kathreena

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1.) Ich mein natürlich das geschlossene Intervall $\begin{eqnarray*} [2,4] \end{eqnarray*}$ , versteh aber die Frage nich, könnte ja auch im offenen Intervall auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit schließen, oder nicht ?

2.) Mittelwertsatz hab ich so verstanden, das hier 2 beliebige Punkte $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ wählen kann, mit $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ .

Mit dem Mittelwertsatz bekomme ich dann die durchschnittliche Steigung, innerhalb dieser Grenzen a,b.
Und laut dem Mittelwertsatz gibt es dann mindestens eine Stelle im Graphen, die genau diese Steigung besitzt.

So, das auf meine Aufgabe angewendet, müsste es doch unendlich viele $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ geben, weil ich auch unendlich viele $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ wählen könnte ?

Als wähle ich irgendwelche 2 Punkte, am besten wieder meine Randpunkte.

$\begin{eqnarray*} f:[3,7] \rightarrow \mathbb R , f(x) = \sqrt{x-3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=3, b=7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(3) = 0 = f(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(7) = 2 = f(b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(a) < f(b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists x_0 \in [3,7] : f'(x_0)=\frac{f(b) - f(a) }{b-a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \frac{1}{2 \sqrt{x_0-3}} = \frac{f(b) - f(a) }{b-a} = \frac{2 - 0 }{7-3} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Umformen nach $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2 \sqrt{x_0-3}})^2 = (\frac{1}{2})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4 x_0-12} = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{4 x_0-12} = 1 = \frac{1}{1 x_0-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_0 = 4 \end{eqnarray*}$

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