Invarianter Teilraum, Minimalpolynom

14.01.2018, 14:09	chrisges	Auf diesen Beitrag antworten »
Invarianter Teilraum, Minimalpolynom Meine Frage: Folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen: Es sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein K-Vektorraum, $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ein Endomorphismus auf $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d:= Grad(m_{\alpha, v}) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} W:= K (\alpha )v \end{eqnarray}$ , also das Erzeugnis von $\begin{eqnarray} ( \alpha v,\alpha^{2}x,...,\alpha^{d-1}v ) \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ -invarianter Teilraum ist. Meine Ideen:* Ich finde leider keinen wirklichen Einstieg in die Aufgabe, obwohl es mir irgendwie so vorkommt, als wäre de Lösung eigentlich direkt vor mir, wäre also sehr dankbar für einen kleinen Denkanstoß, wie man da rangehen könnte
15.01.2018, 21:43	chrisges	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Invarianter Teilraum, Minimalpolynom Hat wirklich niemand einen Ansatz? Kann doch nicht sooo schwer sein, oder?
17.01.2018, 20:32	t1mel0rd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo chrisges, zuerst einmal: was heißt es eigentlich für einen Teilraum, invariant bezüglich eines Endomorphismus zu sein? Wenn du dir das klarmachst ist die Lösung der Aufgabe tatsächlich recht schnell in greifbarer Nähe. Sei $\begin{eqnarray} \alpha: V \rightarrow V \end{eqnarray}$ . Ein Teilraum $\begin{eqnarray} U \leq V \end{eqnarray}$ heißt $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ -invariant, falls $\begin{eqnarray} \alpha(U) \subseteq U \end{eqnarray}$ . D.h. das Anwenden von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ auf ein Element von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ führt niemals aus $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ heraus. Was du also in deiner Aufgabe zeigen musst ist dass für ein beliebiges $\begin{eqnarray} w \in W \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \alpha(w) \in W. \end{eqnarray}$ Außerdem weißt du, wie jedes Element aus $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ aussehen muss, da du ein Erzeugendensystem kennst. Kommst du damit weiter? Viel Erfolg

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