1. Ableitung/Differenzenquotient x - x0 Methode |
| 14.01.2018, 20:26 | Hansi0815 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| 1. Ableitung/Differenzenquotient x - x0 Methode Hallo, ich habe mich nun genauer mit der 1. Ableitung beschäftigt und bin auf ein kleines Problem gestoßen. Für die erste Ableitung an der Stelle x0 gilt ja: lim(f(x)-f(x0)/x-x0)) |x->x0. Meine 1. Frage bezieht sich auf x und x0. Berechne ich die erste Ableitungsfunktion f'(x) und dann die erste Ableitung an der Stelle x0, dann ersetze ich einfach x durch x0 und rechne aus. Nun die Frage wie das genau von statten geht, denn wenn ich einsetze mit einem x=x0 folgt mit dem Differenzenquotient lim(f(x)-f(x0)/x-x0) für x=x0 ein Widerspruch. Einerseits ist also x=x0 und dann soll x ungleich x0 sein.(Da sonst der Nenner 0 ist) Wo ist der Haken? Was passiert genau? Ist Einsetzen nicht gleich Gleichsetzen? 2. Daran schließt sich an ob man bei der zu berechnenden Stelle immer von einem x0(x1...,a,b,c...) sprechen muss oder ob es auch korrekt wäre von einem konkreten x zu sprechen, beispielsweise x=3. Danke und einen schönen Start in die Woche! Meine Ideen: Zu 2.: Von einer Stelle x zu sprechen wäre für mich nicht logisch, weil dann wäre x zum Beispiel gleich 1, aber x ist eine beliebige Zahl, die jeden Wert annehmen kann, und wenn wir sie auf 1 festlegen, können wir keine 1. Ableitung in Abhängigkeit von x mehr bilden. 1. jau...anscheinend ist beim einsetzen nicht x=x0 zu schreiben, warum..ich hoffe ihr könnt helfen. Würde man die h Methode benutzen könnte man ohne direkte Probleme zu bekommen x=x0 schreiben, dann würde kein sichtbarer Widerspruch folgen. Das verwirrt mich umso mehr. |
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| 14.01.2018, 22:44 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
x ist immer eine laufende Koordinate (das Argument der Funktion) und x0 eine gewählte feste Stelle. Diese beiden werden nicht gleichgesetzt, denn sie unterscheiden sich immer voneinander, wenn auch um einen verschwindend kleinen Betrag. Auch beim bzw. nach dem Grenzübergang x --> x0 ist diese Differenz noch vorhanden, allerdings infinitesimal klein. Dies wird auch durch das Differential beschrieben, welches eben nicht Null ist. Daher kommt es NICHT zu dem von dir angedachten Widerspruch, weil im Bruch df(x)/dx eben keines dieser beiden Differentiale df(x) und dx Null ist. Bei der Grenzwertbildung des Differenzenquotienten (f(x) - f(x0))/(x - x0) würde mit x gegen x0 sowohl der Nenner auch der Zähler f(x) - f(x0) gegen Null gehen, es entsteht deshalb der (unbestimmte) Fall ["0/0"], diesen Term nennt man daher eine unbestimmte Form. Wir wissen, dass im [h-Methode oder (x-x0)-Methode, letztendliches Kürzen durch das im Nenner stehende h] Nach dem Grenzübergang (Tangente als Grenzlage der Sekante) ergibt sich demnach die Steigung f '(x0) = df(x)/dx (x0) der Funktion an der Stelle x0 (die Steigung der Tangente ebendort) an den Funktionsgraph im Punkt (x0; f(x0)). Für anderen Stellen x1, x2, .., usw. müsste man also dieses Verfahren jedes Mal von Neuem durchführen und es wäre immer der gleiche Rechenweg zu gehen, was auf die Dauer ziemlich lanweilig werden würde. Daher setzt man NACH dem Grenzübergang in den Ableitungsterm f ' (x0) an Stelle von x0, welche sich ja auch dauernd ändern kann und daher wie eine Variable zu behandeln ist, wiederum die Variable ein. Jetzt hat man den Term der Ableitung in x, also f '(x), und dieser ist numehr die Ableitungsfunktion, weil sie für jede beliebige Stelle x zur Berechnung der Steigung verwendet werden kann. Das mag etwas verwirrend klingen, es ist aber für weitere Betrachtungen sehr nützlich und essentiell. Noch ein Beispiel, wie das jetzt funktioniert: Wenn nun die Steigung an der Stelle 3 zu bestimmen ist, setzt man in f '(x) für x einfach 3 ein, hier wird sie demnach zu 2*3 = 6. Interessiert zweitens die Stelle x = -0.25, so kommt es dort zur Steigung -0.5 (-1/2) und so fort. Du siehst, das ist allemal bequemer, als jedes Mal den Grenzübergang neu durchzuführen! mY+ |
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| 15.01.2018, 08:53 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Nenner. 
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| 15.01.2018, 15:09 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke, schon korrigiert! mY+ |
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| 15.01.2018, 15:12 | Hansi0815 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: 1. Ableitung/Differenzenquotient x - x0 Methode Schonmal vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Wie ich es nun verstanden habe ist es nicht richtig von einer Stelle x zu sprechen, da x keine Stelle beschreibt, sondern einen laufenden/freien Wert. Würden wir eine konkrete Stelle x nennen, so wäre x fest, so kann ich keine Funktion mehr in Abhängigkeit von x bilden, da x fest ist. Angenommen ich hätte die erste Ableitung f'(x)=3x^2 geben. Für die erste Ableitung an der Stelle x0 ersetze ich einfach das x durch das x0, klar, es folgt: f'(x0) = 3x^2 = lim(f(x)-f(x0)/x-x0) x->x0.(mit Diffquotient) Beim Übergang von f'(x) zu f'(x0) setze ich doch x=x0 oder nicht? Im darauffolgenden Schritt darf dann x nicht x0 sein (logisch). Verwechsel ich da die Definitionen? Kann ich diese nicht koppeln? Weiterhin: Es wird immer nur die 1. Ableitung an der Stelle x0 definiert. Gibt es eine konkrete Definition der 1. Ableitung? Weil wenn ich im Differenzenquotient für x0 x einsetze, dann ploppt das alles.. Ist also die 1. Ableitung nur die Folge aus einer konkreten 1. Ableitung an einer Stelle x0, die nicht definiert, sondern nur als Funktionsgleichung abgeleitet werden kann? Weiterhin: Ich habe es nun so verstanden, dass es aufjedenfall falsch ist von der Stelle x zu sprechen. Ist es aber unerheblich ob ich die erste Ableitung an der Stelle a) x0=1 b) x=1 c) x=x0=1 zu berechnen? Ich finde nämlich im Netz unterschiedliche Aufgaben wo manchmal von der Stelle x=1 oder x0=1 gesprochen wird. Daran schließt sich an, ob ich für die Stelle x0 auch x=x0 schreiben kann? Beste Grüße Hansi |
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| 16.01.2018, 00:28 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich glaube, du siehst das alles zu kompliziert. Ich schlage dir vor, meinen vorigen Beitrag nochmals, vielleicht mehrmals durchzulesen, ich denke, dass sich danach die Hälfte deiner Fragen erübrigt haben wird. ------- Ich versuche dennoch nochmals deinen letzten Post zu beantworten und etwas zur Klärung zu sagen. Man darf durchaus von einer "Stelle x" sprechen, denn jeder beliebig auf der x-Achse gewählte Wert bezeichnet ja eine "Stelle" (x). In diesem Sinne ist die Stelle x nicht fest, denn sie kann sich ja im gesamten Definitionsbereich frei bewegen bzw. dort gewählt werden. Während der Berechnung des Grenzwertes ist diese vorübergehend fest, heisst dann x0 und wird später wieder zu x, wie schon im Vorpost beschrieben. Und selbstverständlich gibt es eine exakte Definition der 1. Ableitung, da "ploppt" nichts, was auch immer du damit meinst. Sie wird für eine Stelle x0 erstellt und das Ergebnis dann verallgemeinert, indem x0 durch x ersetzt wird, mit dem Ziel, eine Ableitungsfunktion zu erhalten. x0 konnte sich an jeder beliebigen Stelle befinden, der Vorgang der Bildung der Ableitung war auch immer der gleiche und natürlich auch das Resultat. Was liegt also näher, die Ableitung der Funktion in x0 in eine Ableitungsfunktion in x überzuführen!
Ja, das könnte man in etwa so sagen. Also das Ergebnis der Ableitung an einer Stelle x0, die durch Überführung von x0 in x zur Ableitungsfunktion wird.
a) b) sind gleichwertig, c) soll so nicht verwendet werden, auch nicht x = x0. Bestenfalls sagen wir "an der Stelle x = 1" oder auch im Punkt P(1; f(1)), das versteht jeder und das ist auch die gängige Usance. mY+ |
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| 16.01.2018, 17:48 | Hansi0815 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: 1. Ableitung/Differenzenquotient x - x0 Methode Ich danke dir, nun ist mir einiges klarer. 
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