Wurzel(Betrag(x)) Stetigkeit

15.01.2018, 16:14	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel(Betrag(x)) Stetigkeit Hey Leute, ich habe es geschafft, zu beweisen (denke ich), dass die Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}->\mathbb{R}: x\mapsto \sqrt{\|x\|} \end{eqnarray}$ gleichmäßig stetig ist. Sei Eps>0. Ich wähle $\begin{eqnarray} \delta:=\epsilon^2>\|x-y\| \end{eqnarray}$ . Dann gilt Für alle x,y in R: $\begin{eqnarray} \| \frac{\|x\|-\|y\|}{\sqrt{\|x\|}+\sqrt{\|y\|}} \| \end{eqnarray}$ nach Dreiecksungleichung im Zähler und Abschätzung von \|x-y\|<Delta dass der Ausdruck kleiner als $\begin{eqnarray} \frac{\epsilon^2}{\epsilon} \end{eqnarray}$ ist. Das mit dem Epsilon^2 erhalte ich aus der Gegenannahme zum gewählten Delta als E^2>\|x-y\|. Stimmt das denn so? Danke und LG
15.01.2018, 16:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast viel über den Zähler gesprochen, und dass du dort $\begin{align} \left\| \|x\|-\|y\| \right\| \leq \|x-y\| < \epsilon^2 \end{align}$ abschätzen kannst. Kein Enwand, alles völlig Ok. Was mir etwas zu kurz kommt, ist die Nennerabschätzung: Anscheinend arbeitest du dort mit $\begin{align} \sqrt{\|x\|}+\sqrt{\|y\|}\geq \varepsilon \end{align}$ . Wieso darfst du das?
15.01.2018, 19:12	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs nochmal umformuliert: Sei Epsilon >0. Wähle Delta = Eps^2>\|x-y\|. Dann darf man aus \|x-y\|<Eps^2 stets folgern, dass \|f(x)-f(y)\|<Eps ist. Nämlich: Angenommen es sei das Gegenteil wahr. Dann erhalte ich so einen Widerspruch: $\begin{eqnarray} \|\sqrt{\|x\|}+\sqrt{\|y\|} \|=\sqrt{\|x\|}+\sqrt{\|y\|}=\|\sqrt{\|x\|}\|+\|\sqrt{\|y\|}\|\geq \|\sqrt{\|x\|}-\sqrt{\|y\|} \|\geq \epsilon \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|\sqrt{\|x\|}-\sqrt{\|y\|} \|=\frac{\|x-y\|}{\|\sqrt{\|x\|}+\sqrt{\|y\|}\|} <\epsilon \end{eqnarray}$ . Da hatte ich wohl einiges durcheinandergebracht. Danke für den Hinweis!
15.01.2018, 20:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau darauf wollte ich hinaus - so ist es wasserdicht.

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