Aufgaben in Sobolevräumen

15.01.2018, 17:02

Studentu

Aufgaben in Sobolevräumen

Hallo Community,

ich habe wieer eine Frage aus Analysis, diesmal zu Sobolevräumen. Bei folgendem Beispiel fehlt mir die Lösungsidee:

a) Für welche p, $\begin{eqnarray*} 1\leq p \end{eqnarray*}$ , ist f(x):=max{0, 1-|x|} in $\begin{eqnarray*} W^{1,p} \end{eqnarray*}$ ?
b) Für welche $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N}, 1\leq p \end{eqnarray*}$ ist f(x):=max{0,1-|x|} in $\begin{eqnarray*} W^{n,p} \end{eqnarray*}$ ?
c) Sei $\begin{eqnarray*} h(x):=e^{ikx-x^2} \end{eqnarray*}$ , g(x) = $\begin{eqnarray*} \mathbb I_{[-1,1]} \end{eqnarray*}$ . Für welche k ist $\begin{eqnarray*} f \ast g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} C^k(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ?
d) Für welche natürlichen Zahlen n und welche $\begin{eqnarray*} p \geq 1 \end{eqnarray*}$ ist f(x):=max $\begin{eqnarray*} \{1-x^2, 0\} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} W^{n,p} \end{eqnarray*}$ ? Berechne die n-te schwache Ableitung, falls sie existiert.

Nun meine bisherigen Lösungsversuche:

a) Wir benötigen die schwache Ableitung von f(x), um prüfen zu können, welche Potenzen ihres Betrages integrierbar sind.
Die klassische Ableitung von $\begin{eqnarray*} \mathbb I_{[-1,1]} \end{eqnarray*}$ ist 0 und die von (1-|x|) ist in [0,1] -1 und in [-1,0] 1.
Somit erhalten wir als schwache Ableitung: $\begin{eqnarray*} Df(x) = \mathbb I_{[0,1]}(x)\cdot (-1) + \mathbb I_{[-1,0]}(x) \cdot 1 \end{eqnarray*}$ .
Nun prüfen wir, für welche p die schwache Ableitung in $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ ist: $\begin{eqnarray*} <br /> \int_{\mathbb R} Df(x) d\lambda = \int_0^1 |(-1)|^p d \lambda + \int_{-1}^0 1 ^p d \lambda \end{eqnarray*}$
und die Integrale sind für alle $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} p = \infty \end{eqnarray*}$ endlich, also gilt $\begin{eqnarray*} f \in W^{1,\infty} \end{eqnarray*}$ .
Stimmt das? (1)

b) Für n=1 siehe a) und für n>1 ist $\begin{eqnarray*} D^nf(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f(x) \in W^{n,\infty} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 2, \end{eqnarray*}$ .
Ist das richtig? (2)
Schreibt man, wenn alle $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ zulässig sind, $\begin{eqnarray*} p = \infty \end{eqnarray*}$ (wobei letzteres ja selbst über das essentielle Supremum definiert ist) oder wie bringt man das zum Ausdruck? (3)

c) Ich weiß nicht recht, aber ich hab das abgeleitet und die Ableitung wird ziemlich kompliziert, sodass ich dann h'(x-y) (was beim Falten auftritt) nicht bzgl. y integrieren kann... (4) Außerdem hat das nichts mit Sobolevräumen zu tun oder? Oder führen da irgendwelche Dichtheits-Einbettungs-argumente zum Erfolg? (5)

d) Hier versuche ich ähnlich wie in a) vorzugehen:
Die erste (klassiche) Ableitung lautet $\begin{eqnarray*} Df(x) = -2x \cdot \mathbb I_{[-1,1]}(x) \end{eqnarray*}$ . Das die Funktion absolut integrierbar ist und auch jede Potenz des Betrages dieser Funktionen integrierbar ist, ist $\begin{eqnarray*} f \in W^{1,\infty} \end{eqnarray*}$ . Die zweite Ableitung wäre klassisch -2x, aber wegen $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}D^1f(x)\cdot \Phi'(x) dx = ... = -2\cdot \Phi(1) - 2\cdot \Phi(-1) - \int_{-1}^{1} \Phi(x)\cdot (-2)dx \neq -\int_{-\infty}^{\infty}\Phi(x)\cdot D^2f(x)dx \end{eqnarray*}$ ist f nicht zweimal schwach differenzierbar, also inur für n=1 in $\begin{eqnarray*} W^{n,p} \end{eqnarray*}$ . Ist das korrekt? (6)

15.01.2018, 17:33

IfindU

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RE: Aufgaben in Sobolevräumen
Ich fürchte du hast mich vorher missverstanden. Wenn man sich die Funktion stückweise betrachtet und dort die Ableitungen bestimmt, heißt es nicht, dass die Ableitungen zusammengesetzt die schwache Ableitung sind.

WENN die Funktion schwach-differenzierbar ist, stimmt das. Aber niemand garantiert dir das. Die Strategie ist also immer: So wie du es hier gemacht hast, einen Kandidaten für eine schwache Ableitung definieren. Und dann zu gucken, ob es wirklich eine schwache Ableitung ist. Wenn sie es ist, ist die Funktion schwach-differenzierbar. Ist sie es nicht, ist sie (nach Eindeutigkeit und Lokalität) nicht schwach-differenzierbar.

Aber den Schritt darfst du nicht einfach überspringen. So ist b) z.B. nicht zweimal schwach differenzierbar. (hatten wir die Funktion nicht sogar im letzten Thread?)

15.01.2018, 18:11

Studentu

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Hallo IfindU, danke für deine schnelle Antwort.

Vielleicht habe ich deine Erklärung aus dem anderen Thread dann wirklich missverstanden. Folgende Auffassung ist nun hoffentlich korrekt?: Wenn man für die potentielle zweite schwache Ableitung überprüft, eine ist, muss man also die klassische zweite Ableitung von der Ursprungsfunktion einsetzen und nicht die klassische Ableitung von der ersten schwachen Ableitung.

16.01.2018, 13:15

IfindU

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Um den Kandidaten zu bestimmen, kannst du so ziemlich alles machen was willst. Üblicherweise sind explizit gegebene Funktionen wenigstens stückweise glatt. Und darau kann man direkt abschnittsweise beliebighohe stückweise Ableitungen berechnen.

Aber, aber, aber: Es sind nur Kandidaten. Es gibt keinen Satz, der sagt, dass so zusammengesetzte Ableitungen schwache Ableitungen sind. Im letzten Thread ging es nur darum zu argumentieren, warum dieser Kandidat wirklich der einzige sinnvolle Kandidat ist. Es kann nicht sein, dass die Funktion schwach-differenzierbar, aber die Ableitung nicht der zusammengesetzte Kandidat ist. Es kann durchaus sein, dass die Funktion stückweise differenzierbar ist, der Kandidat definiert ist, aber die Funktion dennoch nicht schwach-differenzierbar ist.

D.h. man muss dann nachprüfen, ob es sich wirklich um die schwache Ableitung handelt. Ausnahmen sind, wenn man weiß, dass die Funktion schwach-differenzierbar ist. Dann ist der Kandidat (aus Mangel an sinnvollen Alternativen) bereits die schwache Ableitung. Das passiert z.B. wenn man weiß, dass die Funktion nicht nur stückweise glatt ist, sondern wirklich überall glatt.

19.01.2018, 02:51

Studentu

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Hallo IfindU,

also hier ein erneuter Versuch, ich hoffe, jetzt habe ich all deine Tipps richtig berücksichtigt:

a)+b):
$\begin{eqnarray*} f(x) = 0, x\leq -1, f(x) = 1+x ,-1<x<0, f(x) = 1-x, 0 \leq x \leq 1, f(x) = 0, x>1 \end{eqnarray*}$ .
f ist stetig und klassich differenzierbar mit f'(x) = $\begin{eqnarray*} 0, x\leq -1 \end{eqnarray*}$ , f'(x) = 1, -1<x<0, $\begin{eqnarray*} f'(x) = -1, 0 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ , f'(x) = 0, x>1
Die schwache Ableitung ist somit durch die klassische gegeben: Df(x):=f'(x) und n muss größer gleich 1 sein.

f' ist nicht stetig, also nicht klassisch differenzierbar. Ein möglicher Kandidat für die schwache Ableitung ist:
$\begin{eqnarray*} D^2f(x) = 0, x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dies ist der einzige mögliche Kandidat, weil er mit den klassischen Ableitungen übereinstimmt und somit jeder andere mögliche Kandidat fast überall mit diesem Kandidaten übereinstimmen müsste.
Prüfe, ob er eine schwache Ableitung ist ( $\begin{eqnarray*} \Phi \in C_c^{\infty} \end{eqnarray*}$ ): $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R} f(x) \Phi''(x) dx = -\int_{\mathbb R} Df(x) \Phi'(x) dx = -\int_{-1}^0 \Phi'(x) dx + \int_0^1\Phi'(x) dx = -\Phi(x)|_{-1}^0 + \Phi(x)_0^1 = -\Phi(0) + \Phi(-1) + \Phi(1) - \Phi(0) \neq 0 = \int_{\mathbb R}D^2f(x) \Phi(x) dx \end{eqnarray*}$ .

Demnach ist f nicht zweimal schwach ableitbar, also n=1.
Da f und Df beschränkt sind und auch jede Potenz von f und Df eine beschränkte Funktion ist und da der Träger ein kompaktes Intervall ist, sind f und Df in $\begin{eqnarray*} L^p \forall p \in \mathbb N \cup {\infty} \end{eqnarray*}$ und somit ist f in $\begin{eqnarray*} W^{1,p} \forall p \in \mathbb{N} \cup {\infty} \end{eqnarray*}$ . (Schreibt man das "unendlich" extra dazu oder ist das dadurch abgedeckt, dass man einfach p aus den natürlichen Zahlen schreibt?)

Hoffe, das stimmt nun?

c) klappt leider noch immer nicht, weißt du, wie man das am besten löst?

Und hier noch ein Beweis zu Sobolevräumen, den ich versucht habe, zu machen, ich bin nur nicht sicher, ob er stimmt:
Zeige unter geeigneter Approximation von g, dass für $\begin{eqnarray*} f \in W^{1,p}(\mathbb R^n), g \in W^{1,q}(\mathbb R^n), 1/p + 1/q = 1, |\alpha| = 1, 1 \leq p \leq \infty \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R^n}D^{\alpha}fg d\lambda^n = - \int_{\mathbb R^n}f D^{\alpha} g d \lambda^n \end{eqnarray*}$ .
Mein Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} (g_k)_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine nach g konvergente Folge aus $\begin{eqnarray*} C_c^{\infty}(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ . (Diese existiert, da der Raum dicht in den Sobolevräumen ist.)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_{\mathbb R^n}(D^{\alpha}f) g_k d\lambda^n = -\int_{\mathbb R^n}f D^{\alpha}g_k d\lambda^n \end{eqnarray*}$ .
Wir müssen also noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} limes_k \int_{\mathbb R^n}D^{\alpha}f g_k d\lambda^n = \int_{\mathbb R^n}D^{\alpha}fg d\lambda^n \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig. Wähle k so, dass $\begin{eqnarray*} ||g-g_k||_q < \epsilon / ||D^{\alpha}f||p \end{eqnarray*}$ .
Dann folgt mit Hölder:
$\begin{eqnarray*} \left|\int_{\mathbb R^n} D^{\alpha}f g d\lambda^n - \int_{\mathbb R^n}D^{\alpha}f g_k d\lambda^n\right| \leq \int_{\mathbb R^n}|D^{\alpha}f(g-g_k)|d\lambda^n \leq ||D^{\alpha}f||_p ||g-g_k||_q \leq \epsilon. \end{eqnarray*}$ , womit unsere Behauptung bewiesen ist.
Ist der Beweis so korrekt?

19.01.2018, 10:26

IfindU

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An sich ziemlich gut Freude

Aber: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nicht klassisch-differenzierbar. Bei $\begin{eqnarray*} -1, 1 \end{eqnarray*}$ hat die Funktion einen Knick. Die Funktion ist Lipschitz-stetig. Damit schwach-differenzierbar und die schwache Ableitung ist in $\begin{eqnarray*} L^\infty \end{eqnarray*}$ . Gibt einen Satz. Wenn du ihn benutzen darfst, kannst du dir also auch sparen zu zeigen, dass die Funktion schwach-diffbar ist. Ansonsten musst du es wohl noch nachholen.

Um zu zeigen, dass es nicht zweimal diffbar ist, musst du ein $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ finden, wo die nötige Gleichheit verletzt ist. A priori könnte ja sein, dass alle $\begin{eqnarray*} \Phi \in C^\infty_c \end{eqnarray*}$ die Gleichheit $\begin{eqnarray*} - \Phi(0) + \Phi(-1) + \Phi(1) - \Phi(0) = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllen. D.h. du musst (streng genommen) eine Funktion finden, die es nicht tut.

Die Einschränkung $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ wirkt seltsam. Üblicherweise interessiert man sich für $\begin{eqnarray*} p \in [1,\infty] \end{eqnarray*}$ , dem reellen Intervall. So hat man $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ auch dabei. Ansonsten wäre die korrekte Notation $\begin{eqnarray*} \forall p \in \mathbb{N} \cup \{\infty\} \end{eqnarray*}$ .
(LaTeX will \{ und \} für Mengenklammern, da { und } bereits Gruppierungsklammern sind.)

c) Eine seltsame Aufgabe. Vermutlich meinst du $\begin{eqnarray*} h * g \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} f * g \end{eqnarray*}$ . Jedenfalls ist $\begin{eqnarray*} h * g \end{eqnarray*}$ eine glatte Funktion. Und du musst die Ableitung von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ auch nicht explizit ausrechnen, und die entstehenden Integrale auch nicht.
Ich würde ganz allgemein zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ eine komplexwertige Schwartzfunktion ist und $\begin{eqnarray*} g \in L^\infty \end{eqnarray*}$ mit kompakten Träger $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} h * g \end{eqnarray*}$ eine glatte Funktion.
Z.B. Stetigkeit:
Sei $\begin{eqnarray*} x_k \to x \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} h * g(x_k) = \int_{\mathbb R} h(x_k - y) g(y) d y \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ stetig ist, gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} h(x_k - y) = h(x-y) \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} h(x_k - y)g(y) = h(x-y)g(y) \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .
Offenbar ist $\begin{eqnarray*} \sup |h| \cdot \mathrm{esssup} | g| \chi_K \end{eqnarray*}$ eine Majorante, d.h. nach dem Satz von Lebesgue (dominierte Konvergenz) gilt
$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} h * g(x_k) = \lim_{k\to\infty} \int_{\mathbb R} h(x_k - y) g(y) d y = \int_{\mathbb R} h(x - y) g(y) d y = h * g(x) \end{eqnarray*}$ . D.h. $\begin{eqnarray*} h * g \end{eqnarray*}$ ist stetig.

(Ist man etwas vorsichtiger beim Abschätzen, gilt das auch unter deutlich schwächeren Annahmen).

Zum letzten Beweis: Schau noch einmal bei den Voraussetzungen für $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ nach. Jedenfalls ist $\begin{eqnarray*} C^\infty_c \end{eqnarray*}$ NICHT dicht in $\begin{eqnarray*} L^\infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} W^{1,\infty} \end{eqnarray*}$ .

19.01.2018, 17:04

Studentu

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Hallo IfindU, danke für deine schnelle Antwort!

In a)b) sehe ich leider nicht, warum die Funktion nicht stetig ist? Es ist doch $\begin{eqnarray*} lim_{x -> \pm 1}1-|x|= 0 \end{eqnarray*}$ , also haben wir da keine Sprungstelle?

Können wir als Testfunktion dann einfach z.B. $\begin{eqnarray*} e^{x}\cdot \mathbb I_{[-5,5]} \end{eqnarray*}$ betrachten? Die ist ja unendlich oft differenzierbar und hat kompakten Träger und erfüllt die Gleichung nicht.

Ja, das $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ hab ich unabsichtlich erfunden. Gemeint war eigentlich $\begin{eqnarray*} 1 \leq p \end{eqnarray*}$ . Aber weil die $\begin{eqnarray*} L^{\infty} \end{eqnarray*}$ -Norm eine ander Definition hat als für $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , ist mir eben unklar, ob die Schreibweisen $\begin{eqnarray*} 1 \leq p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ den Fall $\begin{eqnarray*} p = \infty \end{eqnarray*}$ dann auch mit einschließen?

c) muss ich mich jetzt erst noch widmen.

zum Beweis: Du hast völlig Recht, in den Voraussetzungen steht $\begin{eqnarray*} 1 < p < \infty \end{eqnarray*}$ . Ist mein Beweis für diesen Fall korrekt?
Gut zu wissen, dass $\begin{eqnarray*} C^{\infty} \end{eqnarray*}$ nicht dicht in $\begin{eqnarray*} W^{m,\infty} \end{eqnarray*}$ ist. Das heißt, mein Beweis aus dem letzten Post wäre für $\begin{eqnarray*} p=\infty \end{eqnarray*}$ daran gescheitert, dass wir $\begin{eqnarray*} g \in W^{m, \infty} \end{eqnarray*}$ nicht approximieren hätten können, ja?
Und ich glaube, ich habe ein generelles Verständnisproblem beim Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L^{\infty} \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} L^{\infty} \end{eqnarray*}$ ?

19.01.2018, 17:44

IfindU

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Bei a),b) meinte ich mit Knick auch keinen Sprung. Die Funktion ist dort, qualitativ gesehen, die Betragsfunktion $\begin{eqnarray*} h(x) = |x| \end{eqnarray*}$ . Die Funktion ist stetig, aber nicht differenzierbar in der 0. Analog hier bei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} +1 \end{eqnarray*}$ .

Bei der Testfunktion: $\begin{eqnarray*} e^x 1_{[-5,5]} \end{eqnarray*}$ hat kompakten Träger. Ist aber nicht stetig, geschweige denn glatt. Die springt wirklich bei -5 und +5. Üblicherweise nimmt man sich den Standardfalter/ Gaußkern und bastelt sich damit eine Testfunktion.

Also $\begin{eqnarray*} p\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1\leq p \end{eqnarray*}$ heisst $\begin{eqnarray*} p \in [1,\infty) \end{eqnarray*}$ . Schliesslich ist $\begin{eqnarray*} \infty \not\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Aber klarer ist das schreiben von $\begin{eqnarray*} p \in [1,\infty] \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \in [1,\infty) \end{eqnarray*}$ . Und solange nicht explizit die Definition der Ableitung aufschreibst, ist es doch egal, dass $\begin{eqnarray*} p = \infty \end{eqnarray*}$ deutlich anders zu den anderen Normen aussieht.

Zitat:

Mein Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} (g_k)_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine nach g konvergente Folge aus $\begin{eqnarray*} C_c^{\infty}(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ . (Diese existiert, da der Raum dicht in den Sobolevräumen ist.)

In welcher Norm konverigert denn $\begin{eqnarray*} g_k \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

[...]
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_{\mathbb R^n}(D^{\alpha}f) g_k d\lambda^n = -\int_{\mathbb R^n}f D^{\alpha}g_k d\lambda^n \end{eqnarray*}$ .
Wir müssen also noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} limes_k \int_{\mathbb R^n}D^{\alpha}f g_k d\lambda^n = \int_{\mathbb R^n}D^{\alpha}fg d\lambda^n \end{eqnarray*}$ .

Du musst auch zeigen. dass $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \int_{\mathbb R^n}f D^{\alpha}g_k d\lambda^n = \int_{\mathbb R^n}f D^{\alpha}g d\lambda^n \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten stimmt es.

Zitat:

Original von StudentuDas heißt, mein Beweis aus dem letzten Post wäre für $\begin{eqnarray*} p=\infty \end{eqnarray*}$ daran gescheitert, dass wir $\begin{eqnarray*} g \in W^{m, \infty} \end{eqnarray*}$ nicht approximieren hätten können, ja?

Ja.

Zitat:

Und ich glaube, ich habe ein generelles Verständnisproblem beim Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L^{\infty} \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} L^{\infty} \end{eqnarray*}$ ?

Wie gesagt, nur auf Mengen mit endlichem Maß sind die $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ Räume geordnet. Und dort gilt $\begin{eqnarray*} L^p \subset L^q \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} p \geq q \end{eqnarray*}$ . D.h. $\begin{eqnarray*} L^\infty \subset L^1 \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} L^\infty \end{eqnarray*}$ der KLEINSTE der Räume. Das heißt die Approximation scheitert NICHT daran, dass es dort viele Funktionen gibt. Es scheitert daran, dass die $\begin{eqnarray*} L^\infty \end{eqnarray*}$ Norm viel stärker als die anderen Normen ist. (Deswegen ist der Raum ja auch kleiner.)

So ist $\begin{eqnarray*} \mathbb 1_{[0,1]} \end{eqnarray*}$ eine Funktion in allen $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ Räumen. Für $\begin{eqnarray*} p \in [1,\infty) \end{eqnarray*}$ kann man es in $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ Norm durch glatte Funktionen approximieren. Für $\begin{eqnarray*} p = \infty \end{eqnarray*}$ kann man nicht einmal eine Folge von stetigen Funktionen finden, die dagegen konvergiert.

Siehe Analysis 1: Konvergiert eine Folge von stetigen Funktionen gleichmäßig gegen eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig. Da die charakteristische Funktion nicht stetig ist, kann sie nicht der gleichmäßige Limes sein. Und für stetige Funktionen stimmt die Supremumsnorm mit der essentiellen Supremumsnorm überein.

22.01.2018, 04:13

Studentu

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Danke für deine Erklärung zur den Lp- bzw. - unendlich-Räumen!

Zitat:

In welcher Norm konverigert denn gk gegen g?

In der $\begin{eqnarray*} L^q- \end{eqnarray*}$ Norm.

Zitat:

Du musst auch zeigen. dass

Okay, also hier würde ich so vorgehen wie vorher, was dann zu $\begin{eqnarray*} ... \leq ||f||_p||D^{\alpha}(g-g_k)||_q \end{eqnarray*}$ führt. Nur irgendwie fehlt mir jetzt die Begründung, dass auch die Folge der Ableitungen gegen die Ableitung von g konvergiert. Also die Folge ist ja stetig differenzierbar, aber könnte nicht die Ableitung von g Probleme machen?

Zitat:

Üblicherweise nimmt man sich den Standardfalter/ Gaußkern und bastelt sich damit eine Testfunktion.

Gut, dann nehme ich $\begin{eqnarray*} exp(5^2/(x^2-5^2))\cdot \mathbb I_[-5,5] \end{eqnarray*}$ . Die erfüllt die Gleichung auch nicht.

22.01.2018, 10:02

IfindU

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Die Antwort auf die erste Frage, ist der Grund warum du Probleme hast die Konvergenz im zweiten Punkt zu zeigen. Es gibt eine Folge von glatten Funktionen $\begin{eqnarray*} g_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g_k \to g \end{eqnarray*}$ in der $\begin{eqnarray*} W^{1,q} \end{eqnarray*}$ Norm!

Zur Funktion: Kann man nehmen. Üblicherweise arbeitet man dann eher abstrakt damit. Sei $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ der Standardglätter. Dann ist $\begin{eqnarray*} \eta(0) > 0 \end{eqnarray*}$ und hat kompakten Träger $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ . Dann kann man als Testfunktion z.B. $\begin{eqnarray*} f(x) = \eta(x-1) \end{eqnarray*}$ nehmen. Dann muss man nicht so viel rechnen. Wären die punktweisen Auswertungen näher beinander, könnte man auch $\begin{eqnarray*} g(x) = \eta(10 (x-1)) \end{eqnarray*}$ nehmen.

In beiden Fällen ist $\begin{eqnarray*} f(1) > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0) = f(-1) = 0 \end{eqnarray*}$ und somit die Gleichheit nicht erfüllt.

23.01.2018, 02:35

Studentu

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Okay danke, also mit dieser Folge erhalten wir dann $\begin{eqnarray*} |\int_{\mathbb R^n} fD(g-g_k)d\lambda^n| \leq ||f||p||d(g-g_k)||_q \leq ||f||_p||g-g_k||_{1,q} \end{eqnarray*}$ , womit die noch fehlende Konvergenz gezeigt ist.
Allerdings ist mir nicht ganz klar, wie wir da zu der Folge mit Konvergenz bzgl. 1,q-Norm kommen? Bzw. ist die Wahl mit der Konvergenz bzgl. 1,q-Norm eigentlich sie stärkste, die wir treffen können und wir könnten (schwächer) auch eine bzgl. der Lq-Norm konvergente und bzgl. dem normalen Betrag konvergente wählen, weil $\begin{eqnarray*} C_c^{\infty} \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} W^{1,q} \end{eqnarray*}$ ist?

Und noch was: ich sehe den Knick bzw. das Differentierbarkeitsproblem bei $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ der Funktion aus a) leider immer noch nicht. Also für die Betragsfunktion |x| ist mir durch Betrachtung von $\begin{eqnarray*} lim_{x->0}\frac{|x|-|0|}{x-0} \end{eqnarray*}$ und Fallunterscheidung x größer und kleiner Null klar, dass die Grenzwerte nicht übereinstimmen und sie deshalb nicht differenzierbar ist. Aber da sehe ich dann bei der Funktion auch eher das Problem an der Stelle x=0 als bei $\begin{eqnarray*} x = \pm 1 \end{eqnarray*}$ ??

23.01.2018, 10:34

IfindU

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Mit $\begin{eqnarray*} C^\infty_c \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} W^{1,q} \end{eqnarray*}$ meint man bezüglich der $\begin{eqnarray*} W^{1,q} \end{eqnarray*}$ Norm. Es gilt trivialerweise $\begin{eqnarray*} W^{1,q}\subset L^q \end{eqnarray*}$ . Und weil $\begin{eqnarray*} C^\infty_c \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} L^q \end{eqnarray*}$ bzgl. der $\begin{eqnarray*} L^q \end{eqnarray*}$ Norm ist, ist folglich auch $\begin{eqnarray*} C^\infty_c \subset W^{1,q} \end{eqnarray*}$ dicht bzgl. der $\begin{eqnarray*} L^q \end{eqnarray*}$ Norm. Das ist nichts was man extra beweisen würde. D.h. wenn du das Dichte-Resultat in Sobolevräumen noch einmal gründlich liest, wird dort stehen, dass auch die Ableitungen stark konvergieren. Und ja, $\begin{eqnarray*} W^{1,q} \end{eqnarray*}$ ist die stärkste Norm, in der man ein generisches $\begin{eqnarray*} g \in W^{1,q} \end{eqnarray*}$ approximieren kann.

Was die Funktion aus a) betrifft. Sie hat Knicke in $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ UND in der 0. An den drei Stellen ist die Funktion nicht diff'bar. Sieht man auch folgermaßen: Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine differenzierbare Funktion (nicht zwingend stetig-diff'bar), so erfüllt $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ den Zwischenwertsatz.

Wenn du $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ also (fast überall) bestimmst, und es springt, ist die Funktion an der Stelle nicht differenzierbar!

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