Bijektivität Beweis

15.01.2018, 17:08

Snexx_Math

Bijektivität Beweis

Hallo zusammen,

ich benötige ein bisschen Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow X \end{eqnarray*}$

Beweisen oder widerlegen Sie : $\begin{eqnarray*} f \ bijektiv \ \Leftrightarrow f \circ f \ bijektiv \ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow : f \ bijektiv \ \Leftrightarrow \forall y \in X \exists ! x \in X : f(x)=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow : (f \circ f) (x) = f (f(x))= f(y) = z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z\in X \end{eqnarray*}$

Gegenrichtung:

Hänge ich dann iwie fest ...

LG

Snexx_Math

16.01.2018, 12:42

Mulder

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RE: Bijektivität Beweis

Zitat:

Original von Snexx_Math
Sei $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow X \end{eqnarray*}$

Beweisen oder widerlegen Sie : $\begin{eqnarray*} f \ bijektiv \ \Leftrightarrow f \circ f \ bijektiv \ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \color{red} \Rightarrow \color{black} : f \ bijektiv \ \Leftrightarrow \forall y \in X \exists ! x \in X : f(x)=y \end{eqnarray*}$

Was macht der Folgepfeil da? Da ist nichts gefolgert worden. O_o

Zitat:

Original von Snexx_Math
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow : (f \circ f) (x) = f (f(x))= f(y) = z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z\in X \end{eqnarray*}$

Was passiert hier genau? Was ist $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ? Ich persönlich würde injektiv und surjektiv separat zeigen. Übrigens auch bei der Gegenrichtung.

Gegenrichtung: $\begin{eqnarray*} f \circ f \end{eqnarray*}$ ist bijektiv nach Voraussetzung.

Naja, beispielsweise injektiv: Sei $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ . Logischerweise ist dann auch $\begin{eqnarray*} f(f(x_1))=f(f(x_2)) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Abbildung ist. Und was folgt daraus nun? Siehe Voraussetzung. Fazit?

Vielleicht solltest du dir erstmal genau aufschreiben (anhand der Definitionen von Injektivität und Surjektivität), was jeweils vorgegeben und was zu zeigen ist. Das ist schon die halbe Miete.

16.01.2018, 15:40

Snexx_Math

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RE: Bijektivität Beweis
Hinrichtung: (verbessert)
Vorraussetzung: f ist bijektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall y \in X \exists ! x \in X : f(x)=y \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} f \circ f \end{eqnarray*}$ ist bijektiv

Surjektivität: $\begin{eqnarray*} \forall y \in X \exists x \in X : f(x)=y \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=y \wedge f(y)=y' : f(f(x))= f(y) = y' \Rightarrow f(f(x))=y' \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f \circ f \end{eqnarray*}$ surjektiv.

Injektivität: $\begin{eqnarray*} \forall x,x' \in X : f(x)=f(x') \Rightarrow x=x' \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} f(x) = f(x') \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} x = x' \Rightarrow f(f(x))= f(f(x')) \Rightarrow f(x)=f(x') \Rightarrow f \circ f \end{eqnarray*}$ injektiv

Gegenrichtung: Vorraussetzung : $\begin{eqnarray*} f \circ f \end{eqnarray*}$ ist bijektiv

zu zeigen : f ist bijektiv

Surjektivität: $\begin{eqnarray*} \forall y \in X \exists x \in X : f(f(x))=y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(f(x))=y \Rightarrow f^{-1}(y) = f(x) \wedge f^{-1}(f(x)) = x \Rightarrow f \end{eqnarray*}$ ist surjektiv

Injektivität: $\begin{eqnarray*} \forall x,x' \in X : f(x)=f(x') \Rightarrow x=x' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(f(x)) = f(f(x')) \Rightarrow x=x' . \Rightarrow f(x)= f(x') \Rightarrow x=x' \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f ist injektiv.

16.01.2018, 19:19

Mulder

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RE: Bijektivität Beweis
Ich finde deine Art, Beweise aufzuschreiben, irgendwie fürchterlich. Erstens ist das ziemlich unübersichtlich und zweitens sehe ich immer noch allerlei Folgepfeile, wo eigentlich keine sein sollten. Dadurch wird so ein Beweis dann auch einfach falsch. Kleiner Tipp: Es bringt niemanden um, auch einfach mal ein, zwei Worte Text in einen Beweis einfließen zu lassen. Man sieht das öfter, dass krampfhaft versucht wird, alles nur mit einem Salat von irgendwelchen Quantoren aufzuschreiben. Da würde ich als Tutor wohl bisweilen n Rappel kriegen, wenn ich das korrekturlesen müsste.

Ich pick mir jetzt einfach einen "Beweis" raus und stelle eine Variante zum Vergleich gegenüber:

Zitat:

Original von Snexx_Math
Surjektivität: $\begin{eqnarray*} \forall y \in X \exists x \in X : f(x)=y \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=y \wedge f(y)=y' : f(f(x))= f(y) = y' \Rightarrow f(f(x))=y' \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f \circ f \end{eqnarray*}$ surjektiv.

Zu zeigen: Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv, so ist auch $\begin{eqnarray*} f \circ f \end{eqnarray*}$ surjektiv.

Sei $\begin{eqnarray*} z \in X \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt. Zu zeigen ist: Es gibt ein $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (f\circ f)(x)=z \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung surjektiv ist, gibt es ein $\begin{eqnarray*} y \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(y)=z \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} y \in X \end{eqnarray*}$ ist, hat auch $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ein Urbild $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ . Es gilt also insgesamt $\begin{eqnarray*} f(f(x))= (f \circ f)(x) = z \end{eqnarray*}$ .

Fertig.

Nochmal ein Beispiel mit den Folgepfeilen (dein vierter "Beweis"):

Zitat:

Original von Snexx_Math
Injektivität: $\begin{eqnarray*} \forall x,x' \in X : f(x)=f(x') \Rightarrow x=x' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(f(x)) = f(f(x')) \Rightarrow x=x' . \color{red} \Rightarrow \color{black} f(x)= f(x') \Rightarrow x=x' \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f ist injektiv.

Lies mal, was da jetzt eigentlich steht: Links vom roten Folgepfeil steht die Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} f \circ f \end{eqnarray*}$ injektiv ist. Und so, wie es da steht, folgerst du aus ebendieser Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x') \end{eqnarray*}$ ist. Das ist aber doch inhaltlicher Unfug und auch gar nicht das, was du willst. Vielmehr setzt man doch an und sagt "Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x') \end{eqnarray*}$ " und will daraus nun folgern, dass $\begin{eqnarray*} x=x' \end{eqnarray*}$ sein muss. Das tust du aber nirgends.

Die mitunter recht deutlichen Worte sind übrigens nicht beleidigend gedacht. Mir ist klar, dass man sowas halt alles üben muss. Ging mir damals nicht anders.

17.01.2018, 19:38

Snexx_Math

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RE: Bijektivität Beweis
Danke erstmal.

Also klare Worte sind immer gut. HAL 9000 hat mir auch mal eine deutliche Ansage gemacht zu Limiten , seitdem habe ich diesen Fehler nicht einmal mehr gemacht Big Laugh

Mal abgesehen von den viel zu vielen Folgepfeilen - ist die Beweisführung den teilweise richtig ???

Wenn ich richtig lese müsste zumindest :

Zitat:

Ich pick mir jetzt einfach einen "Beweis" raus und stelle eine Variante zum Vergleich gegenüber: ....... . Fertig.

dieser Beweis (mit weniger $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ) ist also richtig ?

17.01.2018, 20:19

Mulder

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RE: Bijektivität Beweis

Zitat:

Original von Snexx_Math
Wenn ich richtig lese müsste zumindest :

Zitat:

Ich pick mir jetzt einfach einen "Beweis" raus und stelle eine Variante zum Vergleich gegenüber: ....... . Fertig.

dieser Beweis (mit weniger $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ) ist also richtig ?

Ich bin mit keinem deiner vier Beweise einverstanden. Ich habe mir nur exemplarisch ein, zwei rausgepickt. Um das nochmal hervorzuheben: Durch deplatzierte Folgepfeile können Beweise komplett falsch werden. Darüber hinaus gehören zu einem Beweis auch Begründungen - die lieferst du absolut nirgends. EIne Aneinanderreihung von Folgerungen ist kein Beweis. Schon gar nicht zu Beginn des Studiums. Diese Übungsaufgaben sind zum Üben da - sollen aber eben auch dein Verständnis prüfen.

Versuch doch mal, deine Beweise mit Text auszuformulieren und deine Schritte genau zu begründen. So wie ich das bei einem Beispiel gemacht habe. Sprich jeden Schritt genau begründen, warum darf ich diesen Schritt jetzt machen? Und was liefert er mir? Was folgt daraus? Das dient einerseits dazu, dem geneigten Leser deine Gedankengänge klar zu machen (was immens wichtig ist) und ist andererseits auch eine prima Selbstkontrolle, ob dir selbst auch wirklich alles klar ist (was noch wichtiger ist). Du musst den Leser (sprich deinen Tutor, der deinen Übungszettel korrigieren wird) an deinen Gedankengängen teilhaben lassen. Wenn er raten muss, wird es richtigerweise Punktabzüge geben.

PS: "Teilweise richtig" ist wertlos. "Richtig" muss es sein. Augenzwinkern

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