Abbildungsmatrix

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Armin33 Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsmatrix
Hallo,

Es geht um folgendes:
Man sol für die folgenden K-Vektorräuume V und ihre kanonischen Basen
B die zu gehöigen Matrizen finden:

1. ) und f die Spiegelung im Ursprung des

D.h ich habe den Vektor und bilde ihn ab auf
d.h ich bekomme eine nxn Matrix mit -1?

2.)

und f die Multiplikation mit , wobei

Wie mache ich es da?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. wo stehen wie viele -1 ?
2. wie immer, man nimmt eine Basis, also hier , multipliziert die Basis vektoren mit und schreibt die Bilder in die Spalten der Darstellungsmatrix.
Armin33 Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann nur in den Diagonalen stehen -1?
Zu 2.
Wie multipliziere ich da mit der Basis. Tut mir leid. Ich sehe es nicht geschockt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin absolut sicher, dass du eine Zahl mit 1 multiplizieren kannst. Auch die Multiplikation derselben Zahl mit kannst du wenigstens mal versuchen.
Armin33 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss ja einfach die Basis abbilden:


So erstmal?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. smile
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und dann sollst du die Darstellungsmatrix aufschreiben.
Armin33 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Darstellungsmatrix ist dann:



oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es und nicht anders. Freude

Grundlegend wichtige Fakten, damit man von einer Darstellungsmatrix sprechen kann:
1. Eine Körpererweiterung ist durch Einschränkung der Multiplikation zu der Skalarmultiplikation ein -Vektorraum.
2. Für jedes ist die Abbildung -linear, also .
Armin33 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dirsmile
Dann habe ich noch ein Beispiel mit einer Drehung:
und f die Drehung um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn.

Wie beschreibe ich das ?

Sinus oder Cosinus oder doch einfacher? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr viel einfacher, das hätte schon René Descartes gekonnt.
Armin33 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich sehe es gerade einfach nicht:
Ich kann die Koordinaten einfach folgendermaßen beschreiben:

für a=90;
und

Also
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Cartesisches Koordinatensystem Augenzwinkern Drehe (1,0) und (0,1).
Armin33 Auf diesen Beitrag antworten »

Also stimmt mein f?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, natürlich nicht. Du drehst nicht, du projizierst auf die y-Achse. Hast du noch nie ein cartesisches Koordinatenkreuz gesehen ?
Hier ist eines:


(1,0) ist der Punkt 1 auf der roten x-Achse, (0,1) ist der Punkt 1 auf der schwarzen y-Achse.
Armin33 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das weis ich egtl Big Laugh
Trotzdem weis ich nicht wie die Drehung aussehen soll. Kannst du mir es sagen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Drehung um den Nullpunkt um 90° nach links. Hast du noch nie was von euklidischer Geometrie gehört ? Das musst du dringend nachholen, sonst hast du gar keine Chance, dir Vektorräume bildlich vorzustellen. Der ist der n-dimensionale euklidische Raum, das ist Geometrie pur. Um das zu verstehen haben tausende Mathematiker 2500 Jahre lang schwer gearbeitet.
Lies Euklid, das lohnt sich auf jeden Fall (klassisches Altertum). Studiere eine Einführung in affine und projektive Geometrie (Renaissance). Studiere ein wenig euklidische, elliptische und hyperbolische Geometrie (19. Jahrhundert). Als Einstieg in die moderne Mathematik empfehle ich dir "Geometry of Surfaces" von John Stillwell, Springer Univeritext, 1992.
Armin33 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber dann muss es doch mit sinus und cosinus gehen.
(x,y)=(r cos a+90, r sin a+90) ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich hat hier Elvis schon gesagt, was du machen kannst.
Zitat:
Original von Elvis
Cartesisches Koordinatensystem Augenzwinkern Drehe (1,0) und (0,1).

Wenn du weißt, was die Bilder von einer Basis ist, kannst du leicht die Abbildungsmatrix angeben. smile
Armin33 Auf diesen Beitrag antworten »



Dann ergibt sich bei kanonischer Basiswahl für die Darstellungsmatrix:

Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

NEIN

Nimm ein Blatt Papier, zeichne ein Achsenkreuz, und drehe das Papier um den Nullpunkt.
Armin33 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme da einfach nicht darauf. Wsl ist es zu offensichtlich. Kannst du mir es sagen? Gott
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich sage dir nur, dass du etwas tun sollst. Noch freundlicher, als dir genau zu sagen, was du tun sollst, werde ich nicht. Ich helfe dir, klüger zu werden, ich helfe dir nicht, dümmer zu werden.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Armin33


Dann ergibt sich bei kanonischer Basiswahl für die Darstellungsmatrix:


Da nimmst du die falsche Abbildung. Auf was wird denn der Vektor (0, 1) bei Drehung um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn abgebildet?
Armin33 Auf diesen Beitrag antworten »

@ Elvis: ist ja egtl gut so smile
@ klarsoweit:
(0,1) wir dann auf (-1,0) abgebildet
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Na also, geht doch. Jetzt schreib die Matrix auf.
Armin33 Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann das:


Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so. Wie ich schon in meinem ersten Beitrag gesagt hatte, stehen in den Spalten einer Darstellungsmatrix immer die Bilder der Basisvektoren.
Armin33 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankesmile

Wenn ich jetzt eine Abbildungsmatrix gegeben habe,
und dann eine Basis ändere, wie bekomme ich die neue Abbildungsmatrix?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dafür gibt es Vorlesungen in Lineare Algebra I, Bücher, Skripten, viele Übungsaufgaben und eine kurze Erklärung bei Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum) . Letztlich läuft alles auf das Zusammenspiel von Vektorräumen, linearen Abbildungen und Matrizen hinaus, wenn man das beherrscht, kann man es verstehen.
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