höhere Ableitung

16.01.2018, 15:10	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
höhere Ableitung Bilde die n-te Ableitung von $\begin{eqnarray} f(x) = -2x^3 + sin(-x)^2 + cos(-x)^2 \end{eqnarray}$ Meine Idee: Ich habs mal so umgeschrieben: $\begin{eqnarray} f(x) = -2x^3 + sin(x)^2 + cos(x)^2 \end{eqnarray}$ Nun dann fang ich an mit $\begin{eqnarray} g(x) =-2x^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g'(x) =-2 \cdot (3) x^{3-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g''(x) =-2 \cdot (3) \cdot (2) x^{3-1-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g'''(x) =-2 \cdot (3) \cdot (2) \cdot (1) x^{3-1-1-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g^{(4)}(x) =0 \end{eqnarray}$ So weiß ich schonmal das $\begin{eqnarray} g^{n}(x)=\begin{cases}\left (-2 \cdot 3 \cdot n \cdot x^{3-n} \right) & n \leq 2\\ 0 & n \geq 4\end{cases}\quad \end{eqnarray}$ Bekomme hier aber nicht die 3. und 4. Ableitung in eine Formel.
16.01.2018, 15:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Deinen Ableitungen nach zu deuten soll $\begin{align} \sin(-x)^2 = (\sin(-x))^2 \end{align}$ bedeuten? Ich halte die erstgenannte Schreibweise für fahrlässig, so mancher mag da $\begin{align} \sin((-x)^2) \end{align}$ hineininterpretieren... Nun gut, betrachten wir deine Variante. Dann kann man auch gleich $\begin{align} f(x)=-2x^3+1 \end{align}$ schreiben gemäß Trigonometrischen Pythagoras. Die Konstante 1 fällt eh bei der ersten Ableitung weg, d.h., für alle $\begin{align} n\geq 1 \end{align}$ haben wir $\begin{align} f^{(n)}(x)=g^{(n)}(x) \end{align}$ mit dem von dir definierten $\begin{align} g \end{align}$ , und es ist $\begin{align} f^{(n)}(x) = -2\frac{3!}{(3-n)!} x^{3-n} = -2\cdot n!\cdot \binom{3}{n} x^{3-n} \end{align}$ , letztere Darstellung gilt sogar für $\begin{align} n>3 \end{align}$ , auch wenn das dann identisch 0 entspricht.
16.01.2018, 16:01	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist die korrekte Schreibweise: $\begin{eqnarray} f(x) = -2x^3+sin^2(-x)+cos^2(-x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} sin(-x) = -sin(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} cos(-x) = cos(x) \end{eqnarray}$ Hatte zuerst einen Fehler, als ich $\begin{eqnarray} sin^2(x) \end{eqnarray}$ schreiben wollte, deswegen meine schreibweise. Danke für die Lösung. Noch wegen $\begin{eqnarray} n > 3 \end{eqnarray}$ Wie rechnest du das aus, oder muss ich da vorher kürzen? $\begin{eqnarray} f^{(4)}(x) = -2\frac{3!}{(3-4)!} x^{3-4} = \frac{-12}{(-1)!} x^{-1} \end{eqnarray}$ Weil $\begin{eqnarray} {(-1)!} = undef \end{eqnarray}$ . Aber der Taschenrechner rechnet das trotzdem aus.
16.01.2018, 16:07	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die allgemeinere Definition $\begin{align} \binom{x}{n} \end{align}$ für beliebige reelle $\begin{align} x \end{align}$ und natürliche Zahlen $\begin{align} n \end{align}$ lautet $\begin{align} \binom{x}{n} := \frac{1}{n!} \prod_{k=0}^{n-1} (x-k) = \frac{1}{n!}x(x-1)\ldots (x-n+1) \end{align}$ . In dem Sinne ist $\begin{align} \binom{x}{n} = 0 \end{align}$ für natürliche Zahlen $\begin{align} x \end{align}$ mit $\begin{align} x<n \end{align}$ .
16.01.2018, 22:10	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
merci

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