Integral mit Substitution: zwei Lösungen

16.01.2018, 20:07

davidrr

Integral mit Substitution: zwei Lösungen

Meine Frage:
Es gilt das folgende Integral zu finden: (Als Teil einer Differentialgl.)

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{1-e^y} dy \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
wir substituieren: $\begin{eqnarray*} u = 1-e^y \implies 1-u = e^y \implies \log(1-u)<br /> = y \implies \frac{du}{u-1} = dy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{1-e^y} dy = \int \frac{1}{u} \frac{1}{u-1} du = \log(\frac{1-u}{u}) + C = \log(\frac{e^y}{1-e^y}) \end{eqnarray*}$

Jedoch sagt mir die Referenzlösung dass die Lösung $\begin{eqnarray*} \log(\frac{e^y}{e^y -1}) \end{eqnarray*}$ ist. Dabei wurde die Substitution $\begin{eqnarray*} e^y = u \end{eqnarray*}$ verwendet.

Ich wäre froh wenn jemand meinen Fehler in der Rechnung finden könnte.

16.01.2018, 21:18

Helferlein

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Wer sagt denn, das deins falsch ist?
Deine Lösung ist korrekt für $\begin{eqnarray*} y<0 \end{eqnarray*}$ , die Referenzlösung für $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ .

16.01.2018, 22:30

HAL 9000

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In dem Zusammenhang muss man wohl mal $\begin{align*} \int \frac{1}{u} ~ \dd u = \ln|u| \end{align*}$ statt nur $\begin{align*} \int \frac{1}{u} ~ \dd u = \ln(u) \end{align*}$ in Erinnerung rufen...

17.01.2018, 09:00

davidrr

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Zitat:

In dem Zusammenhang muss man wohl mal ∫1u du=ln|u| statt nur ∫1u du=ln(u) in Erinnerung rufen...

Zitat:

Wer sagt denn, das deins falsch ist? Deine Lösung ist korrekt für y<0, die Referenzlösung für y>0.

Herzlichen Dank für Eure Beiträge.. Das ergibt mir jetzt schon viel mehr Sinn. Freude

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