Potenzreihenentwicklung

16.01.2018, 20:46

maxxxl93

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Potenzreihenentwicklung

Meine Frage:
Bei meiner Frage handelt es sich um folgende Funktion, die nun in eine Potenzreihe überführt werden soll:

f(x) = ln(x) / (x^2)

Meine Ideen:
Meine Idee ist es, auf die geometrische Reihe (1 / (1-x)) zurueckzugreifen und diese durch algebraische Manipulation/Differenzieren/Integrieren auf die Gestalt der gesuchten Funktion zu bringen.
Jedoch weiß ich nicht wie genau ich hier vorgehen soll..

Wäre super wenn mir jemand die Lösung mit dem Rechenweg hier geben könnte..
bin hier leider mit meinem Latein am Ende und schreibe bald Klausur....

Vielen Dank im Voraus!!!:-)

16.01.2018, 22:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von maxxxl93
Bei meiner Frage handelt es sich um folgende Funktion, die nun in eine Potenzreihe überführt werden soll:

f(x) = ln(x) / (x^2)

In welchem Entwicklungspunkt? Sicher nicht Null, denn dort ist eine Polstelle.

17.01.2018, 08:49

Leopold

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In einem ungefähren Sinn ist das eine Polstelle. Wenn man jedoch die klassische Definition der komplexen Analysis zugrundelegt, trifft das nicht zu. Denn der komplexe Logarithmus besitzt keine Laurent-Reihe um den Nullpunkt. Er ist ja, welchen Zweig auch immer man nimmt, nicht einmal stetig in einem im Nullpunkt gelochten Kreis. 0 ist keine isolierte Singularität der Logarithmusfunktion, insbesondere keine Polstelle.

17.01.2018, 09:24

maxxl93

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Ein Entwicklungspunkt ist nicht explizit angegeben in der Aufgabenstellung..
Ziel ist die richtige Potenzreihe aufzustellen....

17.01.2018, 09:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von maxxl93
Ziel ist die richtige Potenzreihe aufzustellen

Wahnsinnig hilfreiche Aufgabenergänzung ...

Na dann nimm einen anderen Entwicklungspunkt, z.B. würde sich $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ als Nullstelle der Logarithmusfunktion im Zähler anbieten. D.h., betrachte

$\begin{align*} f(1+t) = \frac{\ln(1+t)}{(1+t)^2} \end{align*}$ ,

eine Möglichkeit wäre das Cauchy-Produkt der beiden Potenzreihen zu $\begin{align*} \ln(1+t) \end{align*}$ und $\begin{align*} \frac{1}{(1+t)^2} \end{align*}$ im Entwicklungspunkt $\begin{align*} t=0 \end{align*}$ .

17.01.2018, 12:08

maxxl93

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ah, danke dafür schon mal smile

smile

die ln-Reihe ist ja: (((-1)^k) / k) * (x-1)^k , bzw. x dann durch 1+t ersetzen.

Welcher Reihe entspricht dann aber der zweite Teil??

-> 1 / (1+t^2)

finde hierzu keine Reihe...

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17.01.2018, 13:05

HAL 9000

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Die kannst du z.B. durch Differenzieren von $\begin{align*} \frac{1}{1+t} = \frac{1}{1-(-t)} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k t^k \end{align*}$ erhalten: $\begin{align*} \frac{1}{(1+t)^2} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (k+1)t^k \end{align*}$ .

Beim $\begin{align*} \ln \end{align*}$ ist noch ein kleiner Vorzeichenfehler, tatsächlich ist $\begin{align*} \ln(1+t) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{{\color{red}k-1}}}{k} t^k \end{align*}$ .

Zitat:

Original von maxxl93
Welcher Reihe entspricht dann aber der zweite Teil??

-> 1 / (1+t^2)

Es ist ein Unterschied, ob man $\begin{align*} \frac{1}{1+t^2} \end{align*}$ oder wie bei uns hier $\begin{align*} \frac{1}{(1+t)^2} \end{align*}$ betrachtet. Also Obacht, vergessene Klammern können tödlich sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.01.2018, 15:29

IfindU

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Zitat:

Original von Leopold
In einem ungefähren Sinn ist das eine Polstelle. Wenn man jedoch die klassische Definition der komplexen Analysis zugrundelegt, trifft das nicht zu. Denn der komplexe Logarithmus besitzt keine Laurent-Reihe um den Nullpunkt. Er ist ja, welchen Zweig auch immer man nimmt, nicht einmal stetig in einem im Nullpunkt gelochten Kreis. 0 ist keine isolierte Singularität der Logarithmusfunktion, insbesondere keine Polstelle.

Das finde ich ein wenig weit hergeholt. Man nimmt die glatte Funktion $\begin{eqnarray*} \log \colon (0,\infty) \to (0,\infty) \end{eqnarray*}$ , erweitert es irgendwie auf $\begin{eqnarray*} \log \colon \mathbb C \setminus \{0\} \to\mathbb C \end{eqnarray*}$ und sagt es hat keine Polstelle, weil die Erweiterung nicht stetig in der Nähe der 0 ist?

17.01.2018, 15:39

Leopold

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Für mich sind Polstellen besondere Arten der isolierten Singularitäten. Und 0 ist ein Randpunkt des Intervalls $\begin{align*} (0,\infty) \end{align*}$ und keine isolierte Singularität. Wenn man natürlich immer dann, wenn's gegen Unendlich geht, von einer Polstelle spricht, ist vieles eine Polstelle, was nicht unter die klassische Definition fällt. Gut, jeder, wie er will, ich habe da halt eine engere Auffassung dieses Begriffs.

17.01.2018, 16:03

HAL 9000

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Auwei, was hab ich da angerichtet...

Einigen wir uns darauf, dass dort schon allein deshalb keine Entwicklungsstelle der Potenzreihenentwicklung sein kann, weil eine "nicht stetig hebbare Singularität" (ich hoffe, das ist jetzt genau genug bzw. ausreichend für den Zweck hier) der Funktion vorliegt.

17.01.2018, 17:04

maxxl93

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jetzt hab ichs verstanden smile

smile

!
Super, viele lieben Dank!!!!

17.01.2018, 17:11

HAL 9000

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Das glauben wir dir erst, wenn du noch die letztlich ausgerechnete Potenzreihe hier nennst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.01.2018, 13:37

maxxl93

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Eine Frage hätte ich noch.. und zwar wieso man bei 1/(1+x)^2 in der dazugehörigen Potenzreihe den Faktor (k+1) hier hernimmt? Warum genau k+1 und wie würde die Potenzreihe bei zB. 1/(1+x)^3 aussehen?

18.01.2018, 13:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Die kannst du z.B. durch Differenzieren von $\begin{align*} \frac{1}{1+t} = \frac{1}{1-(-t)} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k t^k \end{align*}$ erhalten: $\begin{align*} \frac{1}{(1+t)^2} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (k+1)t^k \end{align*}$ .

Nicht nachvollzogen? unglücklich

unglücklich

18.01.2018, 14:04

maxxl93

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(-1)^k * (k-1) * t^(k-1) das bekomm ich raus wenn ich die Reihe ableite..
?

18.01.2018, 14:08

HAL 9000

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Genauer arbeiten! Es ist einerseits $\begin{align*} \left( \frac{1}{1+t} \right)' = -\frac{1}{(1+t)^2} \end{align*}$ und andererseits innerhalb des Konvergenzkreises (d.h. für $\begin{align*} |t|<1 \end{align*}$ )

$\begin{align*} \left( \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k t^k \right)' = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \left( t^k \right)' = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k k t^{k-1} = -\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (k+1) t^k \end{align*}$ ,

letzteres per Indexverschiebung um 1 nach hinten. Gleichsetzung ergibt (nach Änderung des Vorzeichens) $\begin{align*} \frac{1}{(1+t)^2} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (k+1) t^k \end{align*}$ .

Genauso dann

$\begin{align*} -\frac{2}{(1+t)^3} = \left( \frac{1}{(1+t)^2} \right)' = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k (k+1)kt^{k-1} = -\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (k+2)(k+1)t^k \end{align*}$ ,

d.h. nach Multiplikation mit $\begin{align*} -\frac{1}{2} \end{align*}$ ergibt das

$\begin{align*} \frac{1}{(1+t)^3} = \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (k+2)(k+1)t^k \end{align*}$ .

19.01.2018, 14:44

maxxl93

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Jetzt habe ich es verstanden!
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung!!! smile

smile

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