Einseitige Differenzierbarkeit

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Ehos Auf diesen Beitrag antworten »
Einseitige Differenzierbarkeit
Meine Frage:
Stimmt es, dass eine Funktion, die an einer Stelle ein Mal rechtsseitig differenzierbar ist, an der selben Stelle unendlich oft rechtsseitig differenzierbar ist. Kann das jemand beweisen oder ein Gegenbeispiel anbringen.

Meine Ideen:
Der Beweis könnte mit vollständiger Induktion geführt werden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Einen Moment lang habe ich gedacht "Wieso wurde meine Antwort gelöscht?", aber es war tatsächlich ein anderer Thread mit praktisch derselben Frage:

https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=583618
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Hal 9000
Danke für diese exotische Funktion. Ich hatte die Frage kürzlich schon mal gestellt und war der Meinung, dass ich die Frage nicht abgeschickt hätte.

In einem Buch über Funktionentheorie las ich kürzlich einen umständlichen Beweis der bekannten Tatsache, dass im Komplexen aus der einmaligen Diff'barkeit einer Funktion folgt, dass die Funktion unendlich oft diff'bar ist. Um den Beweis zu vereinfachen, habe ich versucht, ihn in Polarkoordinaten zu führen. Das führte mich auf die obige Frage.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es nützt übrigens auch nichts, für die rechtsseitige Ableitung Stetigkeit zu fordern. In dem Fall greifr das leicht modifizierte Beispiel

.

Dieses ist nun zwar einmal stetig differenzierbar auch im Nullpunkt, es gilt

,

aber an der Stelle ist nun nicht nochmal differenzierbar, auch nicht einseitig rechts.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Und wenn abstrakt argumentieren will: Es gibt eine Funktion , die überall stetig, aber nirgens differenzierbar ist. Dann existiert die Stammfunktion von , welche überall stetig differenzierbar ist, aber nirgens zweimal differenzierbar ist.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Rückfrage zum alten Thema "Rechtsseitige Diff'barkeit". Ich suche ein Gegenbeispiel oder den Beweis für folgende Aussage:

Wenn eine Funktion an der Stelle ein Mal rechtsseitig diff'bar ist, dann ist sie dort unendlich oft rechtsseitig diff'bar.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Inwiefern ist das eine Rückfrage?
Abgesehen davon, dass du die Stelle mit der Bezeichnung konkretisiert hast, sehe ich keinen Unterschied zur obigen Frage - oder habe ich meine Brille schlecht geputzt? Erstaunt1
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@ HAL 9000
Danke nochmals, ich hatte da etwas durcheinander gebracht.
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