Grenzwertbestimmung

17.01.2018, 17:33

Aoloo

Grenzwertbestimmung

Guten Tag,

ich muss in meinem Studium jetzt doch einige Mathemodule belegen und komme mit einer Aufgabe nicht zurecht.
Ich hoffe, mir kann hier jemand helfen
$\begin{eqnarray*} <br /> Sei f [0,\infty ) -> \mathbb R, f(x):=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

a>0
Zeige, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \end{eqnarray*}$ existiert und berechne diesen.

Ich weiß leider nicht wirklich, wie ich an diese Aufgabe ran gehen soll.
Mir würde nur stures einsetzen einfallen und dann versuchen umzustellen ..
Wäre über Tipps, Ansätze oder Erklärungen sehr froh smile

17.01.2018, 18:33

HAL 9000

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Sofern dir Ableitungen schon bekannt sind, kannst du ja $\begin{align*} f'(a) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \end{align*}$ nutzen.

Andernfalls hilft die gemäß dritter binomischer Formel mögliche Vereinfachung

$\begin{align*} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} \end{align*}$ .

17.01.2018, 18:35

Matt Eagle

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RE: Grenzwertbestimmung
Erweitere den Bruch so, dass im Zähler die 3. binomische Formel zur Anwendung kommen kann.

17.01.2018, 18:55

Aoloo

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Dankeschön.

Ableitungen sollen wir dort noch nicht nutzen.

Daraus lässt sich ja dann schon sagen, dass der Grenzwert gegen 0 geht oder?
Und es dürfte ja auch direkt gezeigt sein, dass der Grenzwert existiert ..
Sorry, muss mich in den nächsten Wochen echt nochmal in das Thema einarbeiten ...

17.01.2018, 18:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Aoloo
Daraus lässt sich ja dann schon sagen, dass der Grenzwert gegen 0 geht oder?

Wenn das deine Schlussfolgerung ist, dann hast du es nicht verstanden.

P.S.: Überhaupt auch die Formulierung: Ein Grenzwert "geht" nicht, ein Grenzwert "ist" bereits das Endergebnis des Grenzübergangs.

D.h., die Folge/Funktion "geht" gegen den Grenzwert, so ist diese Formulierung anwendbar.

17.01.2018, 19:03

Aoloo

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Hab ich auch noch nicht wirklich ..
Was/wie müsste ich denn weiter machen?

17.01.2018, 19:06

HAL 9000

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Du hast also keine Vorstellung, wie man $\begin{align*} \lim_{x\to a} \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} \end{align*}$ berechnet? Keine Vorstellung, wie man $\begin{align*} \lim_{x\to a} g(x) \end{align*}$ berechnet für eine Funktion $\begin{align*} g \end{align*}$ , die an der Stelle $\begin{align*} a \end{align*}$ stetig ist?

17.01.2018, 20:36

Aoloo

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Hm nicht wirklich.

Vielleicht so:

$\begin{eqnarray*} = \frac{\lim_{x \to a} 1 }{\lim_{x \to a} \sqrt{x} +\sqrt{a} } = \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a} } \end{eqnarray*}$

18.01.2018, 08:32

HAL 9000

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Ja, so geht es auch. Das Ergebnis sollte man natürlich noch zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\sqrt{a}} \end{eqnarray*}$ zusammenfassen.

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