Abbildungen auf Injetivität und Surjektivität untersuchen

18.01.2018, 17:48

Snexx_Math

Abbildungen auf Injetivität und Surjektivität untersuchen

Hallo zusammen,

ist die folgende Untersuchung richtig ?

Zu untersuchen $\begin{eqnarray*} f: \mathbb Z \rightarrow \mathbb N , n \mapsto \begin{cases}n \ , \ falls \ n>0\\-n \ , \ falls \ n<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Zur Surjektivität:

Da jedes $\begin{eqnarray*} n \in\mathbb N \end{eqnarray*}$ unter f zwei Urbilder mit $\begin{eqnarray*} f^{-1}(n)= \{ n , -n\} \end{eqnarray*}$
hat. Ist diese Abbildung surjektiv.

Zur Injektivität:

Wenn f injektiv ist, dann muss gelten: $\begin{eqnarray*} \forall n,n' \in \mathbb Z : f(n) = f(n') \Rightarrow n = n' \end{eqnarray*}$

Aber sei $\begin{eqnarray*} n= -2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n'=2 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt : $\begin{eqnarray*} f(-2) = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(2)=2 \end{eqnarray*}$ . Also gilt hier $\begin{eqnarray*} f(n) = f(n') \wedge n \neq n' \end{eqnarray*}$ , somit folgt , dass f nicht injektiv ist.

18.01.2018, 18:18

Elvis

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Das wäre richtig, wenn f eine Abbildung wäre. Da f keine Abbildung ist, kann f weder injektiv noch surjektiv sein. Injektiv und surjektiv sind Eigenschaften von Abbildungen.

18.01.2018, 18:29

Snexx_Math

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oh ich schätze da ist was schief gegangen beim eingeben unglücklich

Natürlich ist die 0 mit drinnen:

Zu untersuchen : $\begin{eqnarray*} f : \mathbb Z \rightarrow \mathbb N , n \mapsto \begin{cases} n , \ ,falls \ n\geq 0 \\ -n \ , \ falls n<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Also dann jetzt alles richtig ? Augenzwinkern

18.01.2018, 18:43

Elvis

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Ist 0 eine natürliche Zahl ?

Wenn ja, dann ist diese Aussage falsch:

Zitat:

Original von Snexx_Math
Da jedes $\begin{eqnarray*} n \in\mathbb N \end{eqnarray*}$ unter f zwei Urbilder mit $\begin{eqnarray*} f^{-1}(n)= \{ n , -n\} \end{eqnarray*}$ hat...

Wenn nein, dann ist f keine Abbildung.

18.01.2018, 20:08

HAL 9000

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Korrekterweise müsste man auch schreiben $\begin{align*} f^{-1}(\{n\}) = \{n,-n\} \end{align*}$ .

19.01.2018, 08:32

Snexx_Math

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Also bei mir ist $\begin{eqnarray*} 0 \in\mathbb N \end{eqnarray*}$

also wenn ich dann schreibe :

Ist surjektiv, da:

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N : |f^{-1}(\{n\})| \geq 1 \end{eqnarray*}$

LG Snexx

19.01.2018, 09:37

Elvis

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Jetzt stimmt alles. f ist eine Abbildung, f ist surjektiv (wobei du gerne aufschreiben darfst, wie die Urbilder von {n} aussehen), und f ist nicht injektiv (wie du bewiesen hast).

19.01.2018, 12:43

Snexx_Math

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Also dann noch als Nachtrag:

Ist surjektiv, da:

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N : f^{-1}(\{n\}) = \{ n , -n\} \end{eqnarray*}$

Also für jedes $\begin{eqnarray*} n \in\mathbb N \end{eqnarray*}$ existiert mindestens ein Urbild.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f ist surjektiv.

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