Differentiation, Umkehrfunktion von x+e^x

Neue Frage »

Stealth Auf diesen Beitrag antworten »
Differentiation, Umkehrfunktion von x+e^x
Hallo!
Die Funktion:



Die Aufgabe die ich lösen soll lautet:

b) Untersuchen Sie, ob f eine differenzierbare Umkehrfunktion und bestimmen Sie gegebenenfalls ()'(1) und ()''(1)

Meine Überlegung ist nun, dass f keine differenzierbare Umkehrfunktion bestizt, da die Bedingung für die Umkehrung Bijektivität ist, die aufgrund der doppelt vorkommenden x variable nicht gegeben hat. So wird nicht einem Element genau ein anderes zugeordnet.

Nun folgt daraus aber auch das dann auch ()'(1) und ()''(1) nicht bestimmbar sind.

Auf diese Aufgabe gibt es 3 Punkte, daher erscheint mir das ein wenig seltsam und frage lieber nach...

Danke! Schönes Wochendende euch. Wink
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentiation, Umkehrfunktion von x+e^x
Zitat:
Original von Stealth
Meine Überlegung ist nun, dass f keine differenzierbare Umkehrfunktion bestizt, da die Bedingung für die Umkehrung Bijektivität ist, die aufgrund der doppelt vorkommenden x variable nicht gegeben hat.

Ähh, wie bitte? verwirrt Die Funktion g(x) = x + 2x ist also nicht bijektiv? verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stealth
Bijektivität [...] die aufgrund der doppelt vorkommenden x variable nicht gegeben hat.

Kompletter Nonsens: ist stetig und basierend auf auch streng monoton wachsend. Verbunden mit sowie ist damit gesichert, dass die Umkehrfunktion auf ganz existiert, und darüber hinaus via für alle reellen auch differenzierbar ist.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL 9000: diese Überlegungen bezüglich f(x) wollte ich eigentlich dem Threadersteller überlassen. Ich hätte das sonst selbst gepostet. geschockt
Stealth Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, scheint so als hätte ich da was durcheinander gebracht. Mich haben die Lösungswege mit dem LambertW Verfahren ein wenig verwirrt...

Ich stehe noch ganz am Anfang meiner mathematischen Laufbahn, daher bitte ich um ein wenig Nachsicht Big Laugh

Toll wäre es wenn mir jemand erklären könnte wie ich die Umkehrfunktion bei diesem Fall bilde, die Ableitungen sollten dann kein Problem mehr sein.

Als Ansatz erhalte ich wie verrechne ich meinen natürlichen log mit dem Ausdruck links des Gleichheitszeichens?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

1. Eine Auflösung mit Standard-Funktionen ist nicht möglich.

2. Eine Auflösung mit Lambert-W findest du hier.

3. Eine Auflösung ist in der Aufgabe gar nicht gefordert. Lies den Aufgabentext genau. Und beachte die Formel, die HAL dir aufgeschrieben hat.
 
 
Stealth Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Berücksichtigung eurer Ratschläge sind dies nun meine Lösungen:



und



Was sagt ihr?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

ist falsch, denn es ist ja . unglücklich

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht noch folgender Hinweis. Wir unterstellen einmal, daß und genügend oft differenzierbar sind. Wir gehen dann von der Beziehung



aus, die und als Umkehrabbildungen voneinander kennzeichnet. Jetzt werden beide Seiten nach differenziert (Kettenregel):



Wenn du in dieser Gleichung und schreibst, erhältst du die bekannte Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion, die HAL 9000 aufgeschrieben hat. Wenn du etwas über die zweite Ableitung erfahren willst, nun, dann differenziere einfach in noch einmal nach . Es ist nicht grundlegend schwierig, jedoch eine Frage der Konzentration, hier korrekt zu differenzieren. Eins nach dem andern, nur nicht huschen und pfuschen ...
Stealth Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist nicht klar, warum die Umkehrfunktion, die nicht anscheinend nicht gebildet werden kann, nicht bei der Frage: Wie lautet die Ableitung der Umkehrfunktion eine zentrale Rolle spielt und benötigt wird.

Die Herleitung der Regel hat mir sehr geholfen, das vorgehen explizit bei ist mir unklar.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Warum setzt du nicht einfach in die Regel

Zitat:
Original von HAL 9000


ein? Und mußt du gewissermaßen "erraten", indem du das zugehörige aus durch Probieren findest. Es ist offensichtlich ...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit es im buchstäblichen Sinne "offensichtlich" wird, hatte ich ja auch noch den Graphen von geplottet. Augenzwinkern
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »