Rechenregeln für Körper beweisen

19.01.2018, 22:35

Snexx_Math

Rechenregeln für Körper beweisen

Hallo zusammen,

ich soll folgende Rechenregeln für Körper beweisen, tue mich damit allerdings ziemlich schwer:

a)zu zeigen: $\begin{eqnarray*} x(y-z)=xy-xz \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz: $\begin{eqnarray*} x(y-z) = x(y+(-z))=xy+x(-z) \end{eqnarray*}$ [ hier weiß ich nicht wie ich eine Multiplikation von x(-z) umforme ].... vielleicht ja: ... $\begin{eqnarray*} =xy+(-z)x=xy-zx=xy-xz \end{eqnarray*}$

b)
zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (-x)y=x(-y)=-(xy) \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz: leider habe ich garkeine Idee , ähnliches problem wie bei a)

LG

Snexx_Math

19.01.2018, 23:10

10001000Nick1

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RE: Rechenregeln für Körper beweisen
Deine Idee zu a) ist richtig. Allerdings brauchst du dazu die Aussage aus Teil b); deswegen würde ich damit anfangen:

Für ein Körperelement $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb K \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -a\in\mathbb K \end{eqnarray*}$ nach Definition das Element, für das $\begin{eqnarray*} a+(-a)=0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Du musst also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} xy+(-x)y=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} xy+x(-y)=0 \end{eqnarray*}$ .

20.01.2018, 12:30

Snexx_Math

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RE: Rechenregeln für Körper beweisen
dann zu b):
$\begin{eqnarray*} xy+(-x)y=y(x+(-x))=y(x-x)=y(0)=y\cdot 0 = 0 \Rightarrow -(xy)=(-x)y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} xy+x(-y)=x(y+(-y))=x(y-y)=x(0)=x \cdot 0 = 0 \Rightarrow -(xy)=x(-y) \end{eqnarray*}$

somit folgt dann für die a) :

$\begin{eqnarray*} x(y-z)=x(y+(-z))=xy+x(-z)=xy+(-(xz))=xy-xz \end{eqnarray*}$

Richtig ?

und noch ne allgemeine Frage:

Für einen Körper $\begin{eqnarray*} (K,+, \cdot ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b,c \in K \end{eqnarray*}$ gilt doch immer:

$\begin{eqnarray*} a(bc)=(ab)c \wedge a+(b+c) =(a+b)+c \end{eqnarray*}$ also Assoziativität in $\begin{eqnarray*} \forall a,b,c \in K \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} a+b+c=a+c+b \wedge abc=acb \end{eqnarray*}$ also die Kommutativität $\begin{eqnarray*} \forall a,b,c \in K \end{eqnarray*}$

20.01.2018, 19:00

10001000Nick1

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RE: Rechenregeln für Körper beweisen
Deine Beweise sind richtig. smile

Zitat:

Original von Snexx_Math
$\begin{eqnarray*} a+b+c=a+c+b \wedge abc=acb \end{eqnarray*}$ also die Kommutativität $\begin{eqnarray*} \forall a,b,c \in K \end{eqnarray*}$

Ja, das funktioniert, weil man aufgrund der Assoziativität die Klammern in $\begin{eqnarray*} a+(b+c)=a+(c+b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\cdot (b\cdot c)=a\cdot (c\cdot b) \end{eqnarray*}$ weglassen darf.

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