VR aller quadratsummierbaren Folgen ist Hilbert-Raum

20.01.2018, 01:34	Erebos	Auf diesen Beitrag antworten »
VR aller quadratsummierbaren Folgen ist Hilbert-Raum Meine Frage: Im R-Vektorraum F aller reellen Folgen $\begin{eqnarray} (a_{k})_{k\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ betrachten wir den Untervektorraum $\begin{eqnarray} l^{2} \end{eqnarray}$ der quadratsummierbaren Folgen, also $\begin{eqnarray} l^{2} = \left\{(a_{k})_{k\in \mathbb N}\|\sum\limits_{k=0}^{\infty } a_{k}^{2} < \infty \right\} \end{eqnarray}$ . Außerdem ist auf $\begin{eqnarray} l^{2} \end{eqnarray}$ ein positiv-definites Skalarprodukt <.\|.> gegeben durch $\begin{eqnarray} <a\|b> = \sum\limits_{k=0}^{\infty } a_{k}b_{k} \end{eqnarray}$ . Zeige: Mit diesem Skalarprodukt ist $\begin{eqnarray} l^{2} \end{eqnarray}$ ein HILBERT-Raum. Meine Ideen: Damit $\begin{eqnarray} l^{2} \end{eqnarray}$ ein Hilbert-Raum ist, muss $\begin{eqnarray} l^{2} \end{eqnarray}$ bzgl. der durch das SKP induzierten Norm vollständig sein (also ein Banach-Raum sein). Unsere Norm sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray} \|\|a\|\| = \sqrt{<a\|a>} = \sqrt{\sum\limits_{k=0}^{\infty } a_{k}^{2} } \end{eqnarray}$ . Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} l^{2} \end{eqnarray}$ vollständig ist, müssen wir zeigen, dass jede Cauchy-Folge in $\begin{eqnarray} l^{2} \end{eqnarray}$ ihren Grenzwert bzgl. der o.g. Norm in $\begin{eqnarray} l^{2} \end{eqnarray}$ hat. Da $\begin{eqnarray} l^{2} \end{eqnarray}$ Folgen als Elemente enthält, müssen wir eine Folge von Folgen betrachten, die eine Cauchy-Folge ist und deren Folgenmitglieder quadratsummierbare Folgen sind. Ich habe mal versucht das etwas anschaulicher darzustellen, weil ich es schwer finde mir eine Folge von Folgen vorzustellen. Sei also $\begin{eqnarray} (a_{k,l\in \mathbb N }) \end{eqnarray}$ eine Folge von quadratsummierbaren Folgen, dann kann man sich $\begin{eqnarray} (a_{k,l\in \mathbb N }) \end{eqnarray}$ vielleicht als Matrix veranschaulichen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} & ... \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} & ... \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & ... \\ ... & ... & ... & ...\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ k läuft von links nach rechts von 1 bis unendlich und l läuft von oben nach unten, ebenfalls von 1 bis unendlich. Wir erhalten in jeder Zeile eine quadratsummierbare Folge, deren Folgenglieder von l abhängen. Die Frage ist jetzt, wie ich die Cauchy-Eigenschaft nutzen kann, um die Vollständigkeit zu zeigen. Man muss ja zeigen, dass die Differenz der Quadratsumme zweier Folgen für hinreichend großes l beliebig klein wird. Wie genau ich das formal aufschreibe ist mir aber nicht klar. Über Ideen und neue Ansätze freue ich mich.
21.01.2018, 16:42	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, deine Schreibweise (mit der Matrix) ist ziemlich clever. Betrachte nämlich die Spalten-Folgen der Matrix. Da du ja bereits eine Cauchyfolge in $\begin{eqnarray} l^2 \end{eqnarray}$ hast, wird insbesondere jede solche Spalten-Folge eine Cauchyfolge in $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ sein. Nun ist $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ aber vollständig. Damit erhältst du für jede Spalte der Matrix eine Zahl als Grenzwert. Durch die mit diesen Zahlen gebildete Folge hast du bereits einen punktweisen Limes zur Verfügung, von dem du nun nur noch zeigen musst, dass er sogar $\begin{eqnarray} l^2 \end{eqnarray}$ -Limes ist. Eine übliche Maßnahme beim Umgang mit Konvergenz in $\begin{eqnarray} l^p \end{eqnarray}$ -Räumen ist es, zu benutzen, dass Reihenreste konvergenter Reihen stets gegen Null gehen. Meine Vermutung wäre, dass man dies einmal 'vorwärts' für die Folgenglieder benutzt, danach irgendetwas Geschicktes tut, um schließlich darauf rückschließen zu können, dass auch die Grenzfolge diese Eigenschaft hat, mithin in l^2 liegen muss. Nun haben wir hier leider bereits \|N viele konvergente Reihen. Alles, was wir tun können, ist demnach: Sei $\begin{eqnarray} (a^{(n)})_{n\in\mathbb N} \subseteq l^2 \end{eqnarray}$ die betrachtete Folge (so dass also, wie du ja schon richtig sagtest, für jedes n gilt: $\begin{eqnarray} a^{(n)} = (a_1^{(n)}, a_2^{(n)}, a_3^{(n)},\ldots)\subseteq\mathbb K \end{eqnarray}$ quadratsummierbar). Für $\begin{eqnarray} j\in\mathbb N \end{eqnarray}$ wähle $\begin{eqnarray} N_j\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , sodass gilt: $\begin{eqnarray} \sqrt{\sum_{k=N_j}^\infty \lvert a_k^{(j)} \rvert^2} < \frac{\varepsilon}{4} \end{eqnarray}$ . Dann könnte man natürlich $\begin{eqnarray} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray}$ wählen, sodass $\begin{eqnarray} \lVert a^{(n)}-a\rVert_2 < \frac{\varepsilon}{4} \end{eqnarray}$ , sobald $\begin{eqnarray} n\geq n_0 \end{eqnarray}$ . Bei dem N_j müsste man nun irgendwie zeigen, dass man diese so wählen kann, dass N_j beschränkt bleibt. Dann könnte man das Supremum N wählen und wäre relativ schnell bei der Behauptung. Hier bin ich aber unsicher, so weit nur schon mal als Denkanstoß, wie man anfangen und was man benutzen und ausprobieren könnte. Vielleicht hat ja jemand von den Kolleg*innen noch ergänzende bzw. bessere Ideen LG sibelius84

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