integrationskonstante bestimmen von 1/(1-x)^2

20.01.2018, 12:51

Peter4242

integrationskonstante bestimmen von 1/(1-x)^2

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich sitze vor einem Problem für meine Klausur, und zwar ist mir nicht klar, wie ich von der Funktion $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{1-X} +c \end{eqnarray*}$ , welche sich aus der Funktion $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{X} \! f(\frac{1}{(1-X)^2} ) \end{eqnarray*}$ ergibt, auf das allgemeine Integral $\begin{eqnarray*} (\frac{X}{1-X} ) \end{eqnarray*}$ kommt.. Ich habe ja keinen Punkt gegeben, dessen Werte x und y ich in das Integral einsetzen könnte um c zu bestimmen. Wie gehe ich da am Besten vor?

Meine Ideen:
Normalerweise setze ich ja in F(X) den Y-Wert ein, in meine Variable den X-Wert und löse nach C auf, dies erscheint mir hier allerdings nicht möglich.

20.01.2018, 12:57

IfindU

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RE: integrationskonstante bestimmen von 1/(1-x)^2
Du hast $\begin{eqnarray*} \int_0^X \frac { 1 } { (1-y)^2} d y = F(y)|_{y=0}^{y=X} = F(X) - F(0) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eine beliebige Stammfunktion ist. Dann hängt $\begin{eqnarray*} F(X) - F(0) \end{eqnarray*}$ nicht mehr von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ab.

20.01.2018, 13:02

Leopold

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RE: integrationskonstante bestimmen von 1/(1-x)^2
Das ist alles ein bißchen durcheinander bei dir. Da sind irgendwelche f's und F's, die da nicht hingehören, und x-e werden mal groß, mal klein geschrieben, als wäre das egal.

Es scheint um

$\begin{align*} F(x) = \int_0^x \frac{\dd t}{(1-t)^2} \end{align*}$

zu gehen. Stimmt das?

Nach dem Hauptsatz der Differentialrechnung ist $\begin{align*} F \end{align*}$ diejenige Stammfunktion von $\begin{align*} f(x) = \frac{1}{(1-x)^2} \end{align*}$ , die an der unteren Integralgrenze den Wert 0 besitzt.

Alle möglichen Stammfunktionen sind die $\begin{align*} F_c(x) = \frac{1}{1-x} + c \end{align*}$ , wobei $\begin{align*} c \end{align*}$ eine reelle Konstante ist. Jetzt ist $\begin{align*} c \end{align*}$ aus $\begin{align*} F_c(0) = 0 \end{align*}$ zu bestimmen. Der Rest ist dann Bruchrechnung.

20.01.2018, 13:26

Peter4242

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Hallo Leopold und IfinU,
herzlichen Dank für die Antwort und Entschuldigung, dass es mathematisch nicht korrekt war, ich kam bei dem Einfügen etwas durcheinander.
Leopold hat es so zusammengefasst, wie ich es meinte. Ich komme für Fc(0)=0 auf das so lange gesuchte Ergebnis, verstehe allerdings nicht, wieso ich sowohl für den Wert der Stammfunktion als auch für die Variable 0 einsetzen muss (und nicht etwa X)? Ich vermute, weil es quasi durch den Hauptsatz der Differentialrechnung so definiert ist, weil das Integral dort ja quasi "beginnt" und somit noch keine Fläche besitzt? Ich hatte permanent X eingesetzt, weil ich dachte, ich müsste es irgendwie "allgemein" lösen.
LG

20.01.2018, 13:31

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Nach dem Hauptsatz der Differentialrechnung ist $\begin{align*} F \end{align*}$ diejenige Stammfunktion ..., die an der unteren Integralgrenze den Wert 0 besitzt.

Zitat:

Original von Peter4242
Ich vermute, weil es quasi durch den Hauptsatz der Differentialrechnung so definiert ist, weil das Integral dort ja quasi "beginnt" und somit noch keine Fläche besitzt?

So ist es. Du brauchst ja nur in die Definition von $\begin{align*} F(x) \end{align*}$ für $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ einsetzen:

$\begin{align*} F(x) = \int_0^x \frac{\dd t}{(1-t)^2} \end{align*}$

$\begin{align*} F(0) = \int_0^0 \text{...blablabla...} ~ \dd t = 0 \end{align*}$

20.01.2018, 13:33

Peter4242

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Ich danke dir!

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