Volumen eines Kegels berechnen

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Dmpartyrock Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen eines Kegels berechnen
Meine Frage:
Hallo,
Bräuchte Hilfe bei der Berechnung des Volumens eines Kegels.Es handelt sich um Aufgabe 2.

Meine Ideen:
Hab es mal gezeichnet und bei Wolfram Alpha eingegeben.Wobei ich das nicht hinbekomme,dass Wolfram Alpha alle Informationen sinnvoll verabeitet.Aufjedenfall sagt Wolfram Alpha,dass die Basis einer Ellipse ähnelt in 2D.Die Angabe der Spitze irritiert mich auch ein bisschen,bedeutet es nicht,dass der Kegel schief ist ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Volumen eines Kegels mit als Inhalt der Grundfläche und als Höhenlänge ist



Darfst du diese Formel verwenden oder mußt du die Integralrechnung einsetzen?
Dmpartyrock Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube nicht,dass es meinen Übungsleiter großartig juckt wie ich das mache.Aber aus Lernzwecken würde ich gerne beide Wege probieren.Am wichtigsten wird aber wohl die Integralrechnung sein. Big Laugh
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wie habt ihr denn einen Kegel definiert?
Dmpartyrock Auf diesen Beitrag antworten »

eigentlich gar nicht. Big Laugh Haben halt was zu Volumenintegralen aufgeschrieben aber nichts genaueres zu irgendwelchen Körper.
Dmpartyrock Auf diesen Beitrag antworten »

Hat jemand vielleicht einen Tipp,wie ich da Vorgehen könnte.Möchte nicht ungeduldig erscheinen,aber ich mus das morgen abgeben. Big Laugh
 
 
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Dmpartyrock,

bei (1) musst du einfach die Beschreibung der Menge hinten so umstellen, dass das ganze einem Normalbereich entspricht:

.

Dies liefert

.

(Die Aufgabe ist etwas verwirrend gestellt. Es fällt zunächst schwer, sich den Körper D vorzustellen. Obige umgestellte Beschreibung zeigt aber, dass es einfach der vom Graphen von f(x,y)=16-2y²-x² über dem Rechteck [0,2]x[0,2] mit der xy-Ebene eingeschlossene Rauminhalt ist.)

Bei (2) würde ich zunächst das Prinzip von Cavalieri anwenden und daraus schließen, dass du genausogut das Volumen des Kegels mit Spitze bei (0,0,0) berechnen kannst. Dann würde ich elliptische Zylinderkoordinaten einsetzen: , z bleibt z. Die Funktionaldeterminante dürfte 2r sein, rechne das am besten selbst noch mal nach. Für die Beschreibung der Menge (des Kegels) K ist entscheidend zu erkennen, wie r und z miteinander zusammenhängen. Bei z=0 soll r=0 sein, bei z=2 soll r=1 gelten, und die Zunahme soll proportional sein. Schaffst du es, das in der Beschreibung der Menge korrekt umzusetzen, um K zu beschreiben? Dann kannst du nach obigem Vorgehen einen (Dreifach-)Integralausdruck aufstellen und auswerten, Funktionaldeterminante nicht vergessen!

Bei (3) noch mal das Prinzip von Cavalieri, aber das siehst du dann bestimmt schon selber.

LG
sibelius84
Dmpartyrock Auf diesen Beitrag antworten »

Also elliptische zylinderkoordinaten sagen mir gar nichts.Polar-,Kartesische-,Zylinderkoordinaten kenne ich eigentlich.
Habe die elliptischen zylinderkoordinaten eingesetzt und rausbekommen,dass r immer gleich kleiner 1 ist.Wenn die Spitze bei null ist,müssten diese Funktion hoffentlich richtig sein.Das Prinzip von Cavalieri ist ziemlich abstrakt in unserem Script erklärt.Ware cool wenn du nochmal erläutern könntest,wie du es genau anwendest.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

https://de.wikipedia.org/wiki/Prinzip_von_Cavalieri

Ob du den Kegel mit Spitze bei (-100,100,0) oder denjenigen mit Spitze bei (0,0,0) nimmst: Für ein festes 0<z<2 ist die Schnittfläche immer gleich groß, also haben wir das selbe Volumen.
Dmpartyrock Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,stimmt mein z in Abhängigkeit von r soweit ?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, klar Augenzwinkern
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