Bedingte Wahrscheinlichkeit

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forbin Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Hallo zusammen,

ich sitze gerade an folgender Aufgabe:
Zitat:
Wir haben zwei Urnen mit jeweils 5 Kugeln. Eine Urne enthält drei weiße und zwei rote Kugeln, die andere Urne zwei weiße und drei rote Kugeln.
Wir wählen zufällig eine Urne aus und ziehen dann zweimal ohne Zurücklegen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass r rote Kugeln (r = 0, 1, 2) in der Stichprobe sind und die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass aus der ersten Urne gezogen wurde, gegeben, dass zwei rote Kugeln in der Stichprobe sind.


Gut, ich kümmere mich zuerst um den Fall, dass 0 rote gezogen werden.

Seien dazu:



Es ist

Nun betrachte ich:


Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, aus Urne 1 keine rote zu ziehen was ja das gleiche bedeutet wie "Es werden nur weiße gezogen".
Da keine Gleichverteilung vorliegt, beträgt die Wahrscheinlichkeit

Für Urne 2 gilt:

Insgesamt folgt also:
.

Mit einem Baumdiagramm komme ich leider auf:


Wo steckt mein Fehler? verwirrt
SHigh Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Ich hab nur grob drüber geschaut, aber musst du hier

Zitat:
Insgesamt folgt also: .


nicht noch durch bzw. teilen.

Dann sollte das doch hinkommen, oder?
forbin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Zitat:
Original von SHigh
Ich hab nur grob drüber geschaut, aber musst du hier

Zitat:
Insgesamt folgt also: .


nicht noch durch bzw. teilen.

Dann sollte das doch hinkommen, oder?


Nein, das hebt sich ja wieder auf.
Ich muss erst dadurch dividieren, aber dann wieder multiplizieren.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Zitat:
Original von forbin
Da keine Gleichverteilung vorliegt, beträgt die Wahrscheinlichkeit

Für Urne 2 gilt:


Irgendwie scheinst du bedingte Wahrscheinlichkeiten und unbedingte Schnittwahrscheinlichkeiten zu verwechseln.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Zitat:
Original von Leopold
Zitat:
Original von forbin
Da keine Gleichverteilung vorliegt, beträgt die Wahrscheinlichkeit

Für Urne 2 gilt:


Irgendwie scheinst du bedingte Wahrscheinlichkeiten und unbedingte Schnittwahrscheinlichkeiten zu verwechseln.


Nehmen wir mal an, ich habe nur eine Urne. In der sind 2 weiße und 3 rote Kugeln drin.
Nun ist doch die Wahrscheinlichkeit, nur weiß zu ziehen, gerade: .
Und nun betrachte ich doch nacheinander die einzelnen Urnen, oder nicht?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Zitat:
Original von forbin
Nehmen wir mal an, ich habe nur eine Urne. In der sind 2 weiße und 3 rote Kugeln drin.
Nun ist doch die Wahrscheinlichkeit, nur weiß zu ziehen, gerade: .


Was du hier ausgerechnet hast, ist . Und wenn du das mit multiplizierst, erhältst du . Ganz entsprechend ist es ja auch am Baum.
 
 
forbin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Zitat:
Original von Leopold
Zitat:
Original von forbin
Nehmen wir mal an, ich habe nur eine Urne. In der sind 2 weiße und 3 rote Kugeln drin.
Nun ist doch die Wahrscheinlichkeit, nur weiß zu ziehen, gerade: .


Was du hier ausgerechnet hast, ist . Und wenn du das mit multiplizierst, erhältst du . Ganz entsprechend ist es ja auch am Baum.


Hm, dann habe ich das wohl noch nicht ganz verstanden.
Ich dachte, wenn ich A als Ereignis definiere, "keine rote Kugel ziehen", dann ist "Keine rote Kugel aus Urne 1 ziehen".
Aber wenn ich dich richtig verstehe, ist es eben das nicht, oder?

Stimmt, wenn ich so darüber nachdenke will ja genau das Ereignis durch die Rechnung erst haben.
Aber was verstehe ich denn anschaulich unter .
Als Menge müsste das doch alles so aussehen:



Der Schnitt ist doch dann gerade ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

"Keine rote Kugel aus Urne 1" ziehen ist eine dieser Formulierungen, die alle Möglichkeiten offenläßt. Da muß man viel präziser formulieren. Ich versuche einmal, es anschaulich zu machen.

Es kommt auf den Standpunkt des Wissens an.

1. Nehmen wir einmal an, wir sind ganz am Anfang. Weder ist die Entscheidung gefallen, welche Urne ausgesucht wird, noch ist eine Kugel gezogen worden. Dann bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, daß Urne 1 ausgewählt werden wird und beim zweimaligen Ziehen aus dieser keine rote Kugel gezogen wird.

2. Nehmen wir einmal an, es ist bereits die Entscheidung für Urne 1 gefallen. Dann bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, daß beim zweimaligen Ziehen (aus Urne 1) keine rote Kugel gezogen werden wird.

Ein Wahrscheinlichkeitsbaum ist so aufgebaut, daß von der Wurzel die Äste mit den unbedingten Wahrscheinlichkeiten und ausgehen. Daran hängen die Äste mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten beziehungsweise . Wahrscheinlichkeiten von Schnitten findest du am Baum nicht direkt, kannst sie aber mit der 1. Pfadregel ermitteln: die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades miteinander multiplizieren. Das entspricht der Regel .
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich achte in Zukunft besser auf Formulierungen.

Ich habe die Aufgabe nun weiter mit einem Baumdiagramm bearbeitet.

Sei R die Zufallsvariable die angibt, wieviele rote Kugeln gezogen wurden.





Stimmt das soweit?

Edit:
Die Wahrscheinlichkeit, dass aus Urne 1 gezogen wurden, wenn zwei rote Kugeln in der Stichprobe sind:

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