Parabel mit Tangente und Punkt bestimmen

20.01.2018, 16:33

Maaax

Parabel mit Tangente und Punkt bestimmen

Meine Frage:
Hey,
ich bin grad in Klausurvorbereitung und bekomme die Aufgabe einfach nicht gelöst:
Geben sie die Gleichung der Parabel mit Scheitelpunkt S = (0|10) an, welche die durch y=2x+1 gegebene gerade genau einmal schneidet. Geben Sie den Schnittpunkt an.

Meine Ideen:
Durch den gegebenen Scheitelpunkt weiß ich, dass f(x)=m(x-0)^2+10, also mx^2+10. Nun muss ich eine Stelle finden, bei der sich die Parabel und die Gerade genau einmal schneiden. Mit gleichsetzen finde ich nichts heraus, da ich dadurch kein m erfahre. Nach m aufzulösen und in die Ausgangsgleichung wieder einzusetzen bringt mich auch nicht weiter. Mit der Ableitung kann ich auch nicht arbeiten. Ich wäre sehr dankbar für Hilfe

20.01.2018, 17:32

Bürgi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Finde eine Funktion mit Scheitelpunkt S(1|0) die diese Gerade einmal schneidet
Guten Tag,

Deine Überlegungen sind im Prinzip richtig.

Wenn die Gerade die Parabel in genau einem Punkt "schneidet", dann ist die Gerade eine Tangente an die Parabel. Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} f'(x)= 2 \end{eqnarray*}$
Daraus kannst Du den x-Wert des Berührpunktes (in Abhängigkeit von m) bestimmen.
Diesen x-Wert sowohl in die Parabel- als auch Geradengleichung eingesetzt muss denselben Wert ergeben. Woraus m berechnet werden kann.

Den Rest überlasse ich Dir.
(Hinweis: Die Ergebnisse sind ganzzahlig)

21.01.2018, 08:17

Bürgi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Finde eine Funktion mit Scheitelpunkt S(1|0) die diese Gerade einmal schneidet
Guten Morgen,

Zitat:

Mit gleichsetzen finde ich nichts heraus, da ich dadurch kein m erfahre.

Das stimmt nicht:

$\begin{eqnarray*} mx^2+10=2x+1~\implies~mx^2-2x+9=0 \end{eqnarray*}$

x berechnen mit p-q-Formel:

$\begin{eqnarray*} x^2-\frac2m x + \frac9m=0~\implies~ {\color{red}x= \frac 1m}\pm\sqrt{\color{blue} \frac1{m^2}-\frac9m} \end{eqnarray*}$

Ein bisschen aufräumen:

$\begin{eqnarray*} {\color{red}x= \frac 1m}\pm\sqrt{\color{blue} \frac{1-9m}{m^2}} \end{eqnarray*}$

Wenn es nur einen gemeinsamen Punkt zwischen Parabel und Gerade geben darf, muss der Radikand null sein. Daraus ergibt sich ein Wert für m und den in den roten Teil der Gleichung eingesetzt ergibt den x-Wert des Berührpunktes.

[attach]46348[/attach]

Neue Frage »

Antworten »

Parabel mit Tangente und Punkt bestimmen

Verwandte Themen