Stellen mit waagerechter Tangentialebene an den Graphen einer Fläche bestimmen

Neue Frage »

teox Auf diesen Beitrag antworten »
Stellen mit waagerechter Tangentialebene an den Graphen einer Fläche bestimmen
Abend, bräuchte Hilfe zur Oben genannten Frage.

z=(x,y)= xy - xy^2 - x^2y

Partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung:

fx: y - y^2 - 2xy

fxx: -2y

fy: x - 2xy - x^2

fyy: -2x

fxy: 1 - 2y - 2x

Ableitungen erster Ordnungen 0 setzen.

fx = 0 -> y ( 1 - y - 2x) : y1=0

fy = 0 -> x ( -x + 1) : x1=0 , x2= 1

Diese nun in die Ausgangsgleichung einsetzen (es entstehen zwei Gleichungen, um den Z Wert zu erhalten)

z1 = 0
z2 = 0

Sind die berechneten Stellen A (0/0/0) und B (1/0/0) richtig oder ist während der Rechnung etwas schief gegangen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast das System nicht vollständig aufgelöst. Es gibt noch einen dritten Punkt!
Dazu musst du noch das Teilsystem*

2x + y = 1
x + 2y = 1

lösen.
Wie kommt es dazu? Die Ausgangsgleichungen sind (x bzw. y sind auszuklammern!):

z_x= 0: --> y(1 - y - 2x) = 0

z_y= 0: --> x(1 - 2y - x) = 0

mY+
teox Auf diesen Beitrag antworten »

Danke vielmals für die Info. Freude

Für fx und fy wurde ein LGS erstellt. Die daraus entstehenden Lösungen wurden in die Ausgangsleichung eingesetzt.

Die Stelle C (1/3 , 1/3 , 1/27) ist unsere 3te Lösung.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ein vierter Punkt ist uns auch noch entgangen, neben B (1; 0; 0) ist noch D (0; 1; 0)
So, jetzt sind es alle.
Was ist nun dein Problem? Die Tangentialebene?

Diese wird vom Berührungspunkt (eben diesen, C) und zwei Richtungsvektoren (Richtungsableitungen mal Einheitsvektoren in die x- bzw. y-Richtung) aufgespannt.
Alternativ kann sie auch mittels des Gradientenvektors in C aufgestellt werden, denn sie steht senkrecht auf diesem.

Die Tangentialebene im Punkt der Fläche bzw. lautet daher (wie öfters hier zu lesen)

(Nabla Operator für die partiellen Ableitungen, Gradientenvektor)



oder (in Koordinatenform)



mY+
teox Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke nochmals smile

Es ist nun alles geklärt, dieses Thema kann geschlossen werden..^^
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »