Zeigen dass M eine Mannigfaltigkeit ist

20.01.2018, 23:48

konrad1

Zeigen dass M eine Mannigfaltigkeit ist

Hallo,

ich möchte zeigen dass die Menge der $\begin{eqnarray*} (x,y,z)^{T} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 3z+3xy^{2}-x^{3}=0 \end{eqnarray*}$ eine Mannigfaltigkeit ist und ihre Dimension bestimmen.

Ich muss zeigen dass meine Menge ein Hausdorfraum ist, das zweite Abzählbarkeitskriterium gilt und sie lokal euklidisch ist. Leider habe ich keine Ahnung wie ich das machen soll unglücklich

LG

Konrad

21.01.2018, 01:18

10001000Nick1

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Tipp: $\begin{eqnarray*} M:=\{(x,y,z)\mid 3z+3xy^2-x^3=0\} \end{eqnarray*}$ ist der Graph einer Funktion $\begin{eqnarray*} f\in C^\infty (\mathbb R^2) \end{eqnarray*}$ . Welche Funktion ist das?

Wie könnte dann eine Karte von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ aussehen? (Du kannst die ganze Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit einer einzigen Karte überdecken.)

Dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ hausdorffsch und zweitabzählbar ist, ergibt sich sofort daraus, dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit der von der Euklidischen Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ induzierten Topologie ausgestattet ist.

21.01.2018, 16:46

konrad1

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Hallo,

ich hab jetzt mal z durch x und y ausgedrückt, wenn ich das dann in eine Spalte schreibe bekomme ich zwei lin. ua. Basisvektoren - laut einem Lemma im Skript heisst das jetzt dass meine Mannigfaltigkeit zweidimensional ist (für den Fall dass es eine Mannigfaltigkeit ist)

LG

Konrad

21.01.2018, 18:11

10001000Nick1

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Zitat:

Original von konrad1
wenn ich das dann in eine Spalte schreibe bekomme ich zwei lin. ua. Basisvektoren

Was ist "das"? Was hast du da als Spalten geschrieben? verwirrt

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