Gleichung nach n umstellen 2,71=(1+1/n) ^{n}

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21.01.2018, 11:50	MatthiasD	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung nach n umstellen 2,71=(1+1/n) ^{n} Meine Frage: Hallo, ich möchtefolgende Gleichung nach n umstellen und berechnen. Probleme bereitet mir das ?hoch n?. n=Element der natürlichen Zahlen. Danke schon einmal Matthias Meine Ideen: 2,71=(1+1/n) ^{n} n\sqrt{2,71}=(1+1/n) n\sqrt{2,71}-1/n=1 ????
21.01.2018, 12:02	G210118	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung nach n umstellen 2,71=(1+1/n) ^{n} Du kannst diese Gleichung algebraisch nicht nach n auflösen. Warum willst du das tun? Zusammenhang? Es gilt: $\begin{eqnarray} (1+1/n)^n = e = 2,7172... \end{eqnarray}$ (eulersche Zahl) für n gg unendlich.
21.01.2018, 12:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung nach n umstellen 2,71=(1+1/n) ^{n} Die gute Nachricht: es gibt genau eine reelle Zahl $\begin{eqnarray} x \geq 1 \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} \left ( 1 + \frac 1 x \right)^x = 2.71 \end{eqnarray}$ ist. Die schlechten Nachrichten; Die Zahl $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ wird sehr unwahrscheinlich natürlich sein. Du wirst sie nicht algebraisch bestimmen können, und die Fragestellung ist sicher nicht das, was dir eigentlich vorschwärmt bzw. dir aufgetragen wurde.
21.01.2018, 14:40	MatthiasD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte den n-Wert ausrechen, der annäherungsweise die eulersche Zahl zwei Stellen hinter dem Komma genau berechnet.
21.01.2018, 14:48	MatthiasD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte jetzt durch probieren annäherungsweise n=200 bestimmt. Das sollte erst einmal reichen. Danke für eure Hilfe!!!
21.01.2018, 14:49	G210118	Auf diesen Beitrag antworten »
Dazu brauchst du ein Näherungsverfahren z.B. Newton.
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21.01.2018, 14:53	G210118	Auf diesen Beitrag antworten »
PS. Der Wert llegt bei ca. 163. Kann man schnell auch durch Probieren finden.
21.01.2018, 14:59	MatthiasD	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!
21.01.2018, 15:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
LambertW Die Gleichung $\begin{align} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = a \end{align}$ besitzt die Lösung(en) $\begin{align} x = -\frac{1}{\frac{1}{\ln(a)} W_k\left( -\frac{\ln(a)}{a} \right)+1} = \frac{a}{\exp\left(-W_k\left( -\frac{\ln(a)}{a} \right)\right)-a} \end{align}$ . Zu beachten ist, dass LambertW-Funktion $\begin{eqnarray} W_k \end{eqnarray}$ hier zwei Lösungszweige hat (k=0 und k=-1), von denen aber nur einer eine positive Lösung x liefert.
21.01.2018, 15:27	G210118	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LambertW Diese Funktion dürfte kein Schüler kennen. Sehr interessant, dass das damit lösbar ist. Der Meister hat wieder einmal gesprochen.
22.01.2018, 11:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Nachtrag zur Aufstellung der obigen LambertW-Formel: Mit $\begin{align} y:=1+\frac{1}{x} \end{align}$ folgt rasch $\begin{align} y &= a^{y-1}\qquad \Big\|\;\cdot (-\ln(a))\cdot a^{-y} = -\ln(a)\cdot \exp(-\ln(a)y)\\ -\ln(a)y\exp(-\ln(a)y) &= -\frac{\ln(a)}{a}\\ -\ln(a)y &= W_k\left(-\frac{\ln(a)}{a}\right) \end{align}$ . LambertW hat für Argumente im Intervall $\begin{align} \left(-\frac{1}{e},0\right) \end{align}$ zwei reelle Lösungszweige, $\begin{align} k=-1 \end{align}$ (mit Funktionswerten <-1) und $\begin{align} k=0 \end{align}$ (mit Funktionswerten >-1). Wir betrachten hier $\begin{align} 1<a<e \end{align}$ . Nun ist jedoch $\begin{align} W_0\left(-\frac{\ln(a)}{a}\right) = -\ln(a) > -1 \end{align}$ , wie man sich durch Nachrechnen $\begin{align} -\ln(a)\cdot \exp(-\ln(a)) = -\frac{\ln(a)}{a} \end{align}$ überzeugen kann. Dem zugehörigen $\begin{align} y=1 \end{align}$ entspricht jedoch nach Rücksubstitution keine passende $\begin{align} x \end{align}$ -Lösung (das hatte ich gestern noch nicht so richtig realisiert, war nur verwundert über seltsame numerische Werte, die mir das CAS geliefert hatte). Also ist hier tatsächlich nur der Zweig $\begin{align} k=-1 \end{align}$ mit $\begin{align} W_{-1}\left(-\frac{\ln(a)}{a}\right) < -1 \end{align}$ von Interesse, der führt nach Rücksubstitution zu $\begin{align} x = -\frac{1}{\frac{1}{\ln(a)} W_{-1}\left( -\frac{\ln(a)}{a} \right)+1} \end{align}$ . Für $\begin{align} a=2.71 \end{align}$ liefert das $\begin{align} x=163.195 \end{align}$ . P.S.: Sicher nichts, was man in der Schulmathematik wirklich betrachten muss. Aber man kann die Frage ja trotzdem mal diskutieren. Es ist doch immer mal wieder erstaunlich, was man mit LambertW doch alles hinkriegt.

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Gleichung nach n umstellen **2,71=(1+1/n) ^{n} **

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