Entwickeln nach Potenzen

21.01.2018, 13:39

xxJan

Entwickeln nach Potenzen

Hallo zusammen,

ich habe ein paar Probleme bei einer Aufgabe, ich hoffe ihr könnt mir da ein wenig unter die Arme greifen smile

Entwickeln Sie die $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1-x}{1+x} (x \neq -1) \end{eqnarray*}$ nach:

a) Potenz von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$
b) Potenz von $\begin{eqnarray*} x-3 \end{eqnarray*}$

und Bestimmen sie jeweils den Konvergenzradius.

Nun bin ich mir nicht ganz sicher ob sich die Taylorreihe eher anbietet,, oder eine andere Potenzreihe (Ich meine es gab noch eine andere Möglichkeit um Funktionen in eine Potenzreihe umzuwandeln). Zudem gehe ich davon aus das bei a) der Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ ist und bei b) $\begin{eqnarray*} =-3 \end{eqnarray*}$ da bin ich mir aber auch nicht ganz sicher.

Vielen Dank für eure Hilfe

22.01.2018, 09:35

Huggy

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RE: Entwickeln nach Potenzen

Zitat:

Original von xxJan
Nun bin ich mir nicht ganz sicher ob sich die Taylorreihe eher anbietet,, oder eine andere Potenzreihe (Ich meine es gab noch eine andere Möglichkeit um Funktionen in eine Potenzreihe umzuwandeln).

Die Potenzreihenentwicklung einer Funktion ist eindeutig und dies ist die Taylorreihe. Allerdings kann man gelegentlich die Taylorreihe einfacher bestimmen als über die Ableitungen der Funktion. Hier kann man die gesuchten Potenzreihen z. B. leicht aus der geometrischen Reihe gewinnen, welche auch eine Taylorreihe ist. Bei a) simpel durch die Umschreibung

$\begin{eqnarray*} \frac {1-x}{1+x}= \frac 1 {1+x}-\frac x {1+x} \end{eqnarray*}$

Bei b) ist der Aufwand für die Umschreibung nur wenig größer.

Zitat:

Zudem gehe ich davon aus das bei a) der Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ ist und bei b) $\begin{eqnarray*} =-3 \end{eqnarray*}$ da bin ich mir aber auch nicht ganz sicher.

Das ist nicht richtig. Bei b) ist der Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ .

22.01.2018, 10:08

HAL 9000

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Ein (technischer) Hinweis zu b) bzw. allgemein zur Erstellung von Potenzreihenentwicklungen, deren Entwicklungspunkt nicht die Null ist:

M.E. ist es meistens hilfreich, eine entsprechende Verschiebung in den Entwicklungspunkt $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ vorzunehmen, d.h. $\begin{align*} t=x-x_0 \end{align*}$ bzw. umgeformt $\begin{align*} x=t+x_0 \end{align*}$ zu substituieren. Die Potenzreihenentwicklung des so verschobenen $\begin{align*} f(3+t) = \frac{-2-t}{4+t} \end{align*}$ im Entwicklungspunkt t=0 entspricht dann der gesuchten Potenzreihenentwicklung von $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ im Punkt x=3. Und dort bei etwas umgeschriebenen

$\begin{align*} f(3+t) = \frac{-2-t}{4}\cdot \frac{1}{1+\frac{t}{4}} \end{align*}$

hilft dann wieder die geometrische Reihe $\begin{align*} \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^{\infty} q^n \end{align*}$ anwenden, diesmal für $\begin{align*} q=-\frac{t}{4} \end{align*}$ .

22.01.2018, 16:55

xxJan

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Also wenn ich den Ansatz von Huggy für a) verfolge dann ist das ja:

$\begin{eqnarray*} &&\frac{1-x}{1+x}\\&&=\frac{1}{1+x}-\frac{x}{1+x}\\&&=\sum\limits_{k=0}^{\infty} -x^{k}-x*\sum\limits_{k=0}^{n} -x^{k} \end{eqnarray*}$

Habe ich das bis da soweit richtig verstanden?
Ist dann der nächste schritt zu schauen das ich alles in eine Summe bekomme?

Sorry ich habe bisher noch nicht so ganz verstanden was die Schritte im allgemeinen sind um eine Potenzreihe zu entwickeln.

22.01.2018, 18:27

HAL 9000

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Da fehlen Klammern, und außerdem geht auch die zweite Summe bis unendlich: $\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty} (-x)^k - x\cdot \sum_{k=0}^{\infty} (-x)^k \end{align*}$

Zitat:

Original von xxJan
Ist dann der nächste schritt zu schauen das ich alles in eine Summe bekomme?

Am besten erstmal in "Normalform" bringen, dabei das "x" in die zweite Summe reinbringen: $\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^k - \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^{k+1} \end{align*}$

Nun Indexverschiebung in der zweiten Summe $\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^{k+1} = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} x^k \end{align*}$ , das einsetzen und dann beide Summen zusammenfassen...

-------------------------

Alternativ hätte man auch am Anfang eine Polynomdivision durchführen können, d.h.,

$\begin{align*} \frac{1-x}{1+x} = \frac{2-(1+x)}{1+x} = -1 + \frac{2}{1+x} \end{align*}$ ,

dann fallen die Summenmanipulationen etwas geringer aus. Augenzwinkern

23.01.2018, 15:44

xxJan

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Okay wenn ich jetzt also von Halls letztem Term ausgehe, dann habe ich ja:

$\begin{eqnarray*} &&\sum\limits_{k=0}^{\infty} -1^{k}-x^k-\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}*x^{k+1}\\&&= \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}*x^{k}-\sum\limits_{k=1}^{\infty} -1^{k-1}*x^k\\&&=\sum\limits_{k=0}^{\infty} -1^{k}*x^k{}-\sum\limits_{k=0}^{\infty} -1^{k}*x^{k}+1\\&&=\sum\limits_{k=0}^{\infty} -1^{k}*x^k-(-1)^{k-1}*x^{k}+1\\&&=\sum\limits_{k=0}^{\infty} x^{k}*((-1)^{k}-(-1)^{k}*-1)+1\\&&=\sum\limits_{k=0}^{\infty} x^{k}*((-1)^{k}-(-(-1)^{k}))+1\\&&=\sum\limits_{k=0}^{\infty} x^{k}*2*(-1)^{k}+1 \end{eqnarray*}$

Ich habe keine Ahnung ob der Ansatz für die Umformung auch nur annähernd in die richtige Richtung geht, deshalb dachte ich mir, ich stelle sie einfach mal rein und frage euch.

23.01.2018, 16:40

HAL 9000

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Ich würde mal sagen, wir diskutieren erst drüber, wenn du die vergessenen Klammern nachrüstest. Vor allem verstehe ich nicht, dass sie manchmal schon drin sind, und du sie in der nächsten Zeile wieder weglässt. unglücklich

23.01.2018, 17:09

xxJan

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$\begin{eqnarray*} &&\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}-x^k-\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}*x^{k+1}\\&&= \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}*x^{k}-\sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1}*x^k\\&&=\sum\limits_{k=0}^{\infty} -(1)^{k}*x^k{}-\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}*x^{k}+1\\&&=\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}*x^k-(-1)^{k-1}*x^{k}+1\\&&=\sum\limits_{k=0}^{\infty} x^{k}*((-1)^{k}-(-1)^{k}*-1)+1\\&&=\sum\limits_{k=0}^{\infty} x^{k}*((-1)^{k}-(-(-1)^{k}))+1\\&&=\sum\limits_{k=0}^{\infty} x^{k}*2*(-1)^{k}+1 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe diesmal keine vergessen zu haben... Ups

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