Orthonormalbasis von euklidischem Vektorraum

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21.01.2018, 17:59	Ulysses133	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis von euklidischem Vektorraum Meine Frage: Sei (V, < , > ) ein euklidischer Vektorraum. Seien E = $\begin{eqnarray} \left\{ e_{1}, e_{2}, .... ,e_{n}\right\} \end{eqnarray}$ eine Orthonormalbasis von V und $\begin{eqnarray} A = (a_{ij}) \in \mathbb R^{nn} \end{eqnarray}$ eine orthogonale Matrix. Zeige Sie, dass die folgenden n Vektoren eine Orthonormalbasis von V bilden: $\begin{eqnarray} <br /> e'_{j} = a_{1j}e_{j}+a_{2j}e_{2}+...+a_{nj}e_{n}<br /> \end{eqnarray}$ j = 1, 2, ... ,n Zeigen sie außerdem, dass daher die Spalen von A eine Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ bilden. Meine Ideen:* Also wie ich das nun für einen spezifischen Fall mache, weiß ich ja nun. Läuft es hier ebenfalls mit Gram-Schmidt ab, nur dass ich dann eben keine Zahlen mehr habe, sondern allgemeine Bezeichnungen? Oder ist das gar der Beweis des Gram-Schmidt-Verfahrens?
21.01.2018, 18:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gram-Schmidt she ich hier nicht, es soll ja nichts orthonormalisiert werden. Das muss irgendwie mit der orthogonalen Matrix zusammen hängen. Wie habt ihr die denn definiert, wenn nicht dadurch, dass ihre Spalten eine orthonormale Basis bilden ? ( https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix )
21.01.2018, 18:37	Ulysses133	Auf diesen Beitrag antworten »
Da muss ich jetzt leider gestehen, dass mir dazu das Skript fehlt. Vielleicht wurde das auch noch nicht behandelt und mit dieser Aufgabe soll eben gezeigt werden, dass eben die Definition der orthogonalen Matrix darin liegt!?
21.01.2018, 19:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Scheint so, da brauchst du wohl eine äquivalente Definition, von der du ausgehen sollst. Sowas macht man ja gerne in Übungsaufgaben.
21.01.2018, 19:15	Ulysses133	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre denn demnach eine äquivalente Definition, dass die Zeilen die Orthonormalbasis bilden?
21.01.2018, 19:34	sixty-four	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine orthogonal Matrix besteht aus Vektoren, die selbst orthogonal und normiert sind. (Deshalb heißt sie ja orthogonale Matrix). Das heißt: Das Skalarprodukt einer Spalte mit sich selbst hat den Wert 1 (Das beweist die Normiertheit) und das Skalarprodukt aus je zwei verschiedenen Spalten ist 0. Wenn du das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \mathfrak{e'}_j \mathfrak{e'}_k \end{eqnarray}$ ausrechnest, kommst du doch genau auf das Skalarprodukt von Spalte j und k. Das ist die Orthogonalität.
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21.01.2018, 19:50	sixty-four	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis ergibt sich auch dadurch, dass das Produkt zweier orthogonaler Matrizen wieder orthogonal ist. Wenn A und B orthogonal sind, also $\begin{eqnarray} AA^T=E \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} BB^T=E \end{eqnarray}$ Dann ist mit C=AB $\begin{eqnarray} CC^T=ABB^TA^T=AEA^T=AA^T=E \end{eqnarray}$
21.01.2018, 19:50	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, die mir bekannte und vermutlich recht gängige Definition von orthogonal ist: $\begin{eqnarray} A\in\mathbb K^{n\times n} \end{eqnarray}$ heißt orthogonal, wenn $\begin{eqnarray} A^{\top}A = E_n \end{eqnarray}$ . Damit würde der Beweis Sinn ergeben, denn: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix}a_1\Bigg\vert a_2 \Bigg\vert \ldots \Bigg\vert a_n\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Longrightarrow \; A^\top A = \big(a_i^\top a_j\big)_{i,j=1}^n \end{eqnarray}$ , und von da aus kommst du bestimmt selber weiter LG sibelius84
22.01.2018, 23:43	Ulysses133	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ich hab jetzt folgenden Ansatz: $\begin{eqnarray} <br /> E' = \left\{ e'_{1}, e'_{2}, ...., e'_{n} \right\} <br /> \vec{e'_{j}} = \sum\limits_{k=1}^{n} a_{kj}\vec{e_{k}} <br /> j = 1,2,3,...,n<br /> \end{eqnarray}$ Da A und E orthogonal sind, ist $\begin{eqnarray} <br /> E' = A E<br /> \end{eqnarray}$ per Definition ebenfalls orthogonal. Jetzt braucht doch "nur" noch gezeigt werden, dass E' linear unabhängig und normiert ist, also, dass: $\begin{eqnarray} <br /> e'_{j} * e'_{i} = 1<br /> \end{eqnarray*}$ gilt. Falls ich keinen Denkfehler habe und dies soweit richtig ist, weiß ich jedoch nicht, wie gezeigt wird, dass E' linear unabhängig und normiert ist.
23.01.2018, 20:00	Ulysses133	Auf diesen Beitrag antworten »
Liege ich richtig/falsch? Kann mir da niemand mehr weiterhelfen?

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