Kombinatorik Sigma bestimmen?

21.01.2018, 19:56

ProfileNotFound

Kombinatorik Sigma bestimmen?

Meine Frage:
Hallo,

wir haben eine Aufgabe erhalten sie lautet:

Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} \sigma^{603} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ = (12534) $\begin{eqnarray*} \in S_5 \end{eqnarray*}$ .

Leider sagt mir die Notation vom Sigma garnichts, deshalb kann ich mit der Aufgabe nichts anfangen.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \sigma^{603} \end{eqnarray*}$ steht für den Zyklus (603)?

21.01.2018, 20:13

sibelius84

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Hallo ProfileNotFound,

das sigma ( $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ) ist ein Buchstabe aus dem griechischen Alphabet, der für unterschiedliche mathematische Objekte Verwendung finden kann. Insbesondere bei Permutationen ist er sehr gebräuchlich. So teilt dir die Aufgabe hier ja sogar explizit mit, dass $\begin{eqnarray*} \sigma=(12534) \end{eqnarray*}$ gesetzt wird. $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ist also in dieser Aufgabe gleich dem Zyklus (12534).

Kleiner Tipp:
Überlege dir zunächst, wie viele Elemente die Gruppe $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ hat, und benutze ein Korollar aus dem Satz von Lagrange: $\begin{eqnarray*} \sigma^{\lvert S_5 \rvert} = \mathrm{id} \end{eqnarray*}$ . Damit kannst du deinen Exponenten ganz schön reduzieren (und musst dir noch nicht mal explizit überlegen, welche Ordnung das Gruppenelement $\begin{eqnarray*} \sigma=(12534) \end{eqnarray*}$ hat).

LG
sibelius84

PS: Hier bedeutet der Exponent die (mehrfache) Hintereinanderausführung der Abbildung $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \sigma^2:=\sigma\circ\sigma, \sigma^3:=\sigma\circ\sigma\circ\sigma \end{eqnarray*}$ , usw.

22.01.2018, 08:54

HAL 9000

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Zur Einordnung:

Vermutlich ist die Aufgabe über die Assoziationskette "Permutationen -> Kombinatorik -> Stochastik" hier gelandet. Angesichts dessen, was hier für diese Permutation zu tun ist, würde ich aber eher "Permutation -> Gruppenoperation -> Algebra" sagen. Augenzwinkern

Zur Aufgabe:

Nicht, dass es bei Exponent 603 eine Rolle spielt, aber bei einer Permutation, die nur aus einem Zykel der Größe $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ besteht, haben wir bereits $\begin{eqnarray*} \sigma^n = id \end{eqnarray*}$ , hier konkret mit $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ .

22.01.2018, 20:28

ProfileNotFound

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Danke Leute! Soweit habe ich alles verstanden.
Jetzt habe ich:

Die einfache zyklische Permutation $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ = (12534) der Länge 5 hat eine Identität von 5.

603 mod 5 = 3...

Ich glaube das 603 mal die Permutation "durchlaufen" bringt das selbe Ergebnis wie 3 mal die Permutation "durchlaufen", nur was bedeutet es genau dieses "durchlaufen"?

Is sowas gemeint?
0. (12534)
1. (41253)
2. (34125)
3. (53412)
.
.
.

22.01.2018, 22:20

sibelius84

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(12534) bedeutet die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \sigma(1)=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(2)=5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(5)=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(3)=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(4)=1 \end{eqnarray*}$ .

(41253) bedeutet die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \sigma(4)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(1)=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(2)=5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(5)=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(3)=4 \end{eqnarray*}$ .

Nach dem selben Schema kannst du dir verdeutlichen, wie du die restlichen Abbildungen bekommst. Was fällt dir nun auf, wenn du die vier Zyklen / Abbildungen, die du hingeschrieben hast, miteinander vergleichst?

Evtl. hilft dir obige Schreibweise auch schon dabei, zu erkennen, wie du $\begin{eqnarray*} \sigma^3(k)=\sigma(\sigma(\sigma(k))) \end{eqnarray*}$ berechnest?

edit: Und ja, es stimmt - bei einem Zyklus der Länge 5 muss man eigentlich nicht direkt mit Lagrange drauf Big Laugh

22.01.2018, 22:20

ProfileNotFound

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Noch ein wenig mehr nachgedacht:

Also: Wr haben doch die menge [1234] geordnet... jetzt kommt die Permutation, die zu (12534) führt also:

1. erste stelle bleibt gleich
2. zweite stelle bleibt
3. 3. geht auf die 5.
4. 5. geht auf die 4.
5. 4. geht auf die 3.

(12345) verknüpft mit sigma => (12534)
Jetzt wenden wir die fünf schritte mal auf (12534) an dann kommt raus: (12453)
2. mal angewandt kommt raus: (12345)
3. mal angewandt kommt final raus: (12534), was auch wieder der startpunkt wäre

22.01.2018, 22:22

sibelius84

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Dann hätte ja ein Zyklus der Länge 5 nun plötzlich doch nicht mehr die Ordnung 5 (wie eigentlich vernünftigerweise erwartbar), sondern plötzlich die Ordnung 3. verwirrt

22.01.2018, 22:24

ProfileNotFound

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Wir hatten zeitgleich geschrieben, ich schaue mir deine Antwort an und denke drüber nach. Danke schon mal!

22.01.2018, 22:53

ProfileNotFound

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0.
$\begin{eqnarray*} \sigma(1)=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(2)=5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(5)=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(3)=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(4)=1 \end{eqnarray*}$ .

1.
$\begin{eqnarray*} \sigma(4)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(1)=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(2)=5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(5)=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(3)=4 \end{eqnarray*}$ .

2.
$\begin{eqnarray*} \sigma(3)=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(4)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(1)=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(2)=5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(5)=3 \end{eqnarray*}$ .

3.
$\begin{eqnarray*} \sigma(5)=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(3)=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(4)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(1)=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(2)=5 \end{eqnarray*}$ .

4.
$\begin{eqnarray*} \sigma(2)=5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(5)=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(3)=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(4)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(1)=2 \end{eqnarray*}$ .

5. = 1.
$\begin{eqnarray*} \sigma(1)=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(2)=5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(5)=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(3)=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma(4)=1 \end{eqnarray*}$ .

Also nach 5. Schritten ist bei einer Ordnung von 5 wieder der Ursprung erreicht?

23.01.2018, 00:31

sibelius84

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Dein $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ist ja eine Funktion, die jedem Element der Menge $\begin{eqnarray*} \{1,2,3,4,5\} \end{eqnarray*}$ wieder ein Element der selben Menge zuordnet.

Wenn du für 1.-4. jeweils eine Wertetabelle machst, wo oben die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 stehen und unten jeweils die Werte $\begin{eqnarray*} \sigma(1),\sigma(2),\sigma(3),\sigma(4),\sigma(5) \end{eqnarray*}$ , was stellst du dann fest?

23.01.2018, 00:33

ProfileNotFound

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Dann machen die Zahlen bei jedem Funktionsaufruf einen Shift nach Links und die Zahl am linken Rand springt nach rechts an das Ende (Zyklus).

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6:	1 -> 2 -> 5 ^ \| \| v 4 <-------3

Oder meinst du das in 1.-4.:

1 ist immer $\begin{eqnarray*} \sigma(4) \end{eqnarray*}$ und 2 ist immer $\begin{eqnarray*} \sigma(1) \end{eqnarray*}$ ...?

23.01.2018, 10:05

HAL 9000

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@ProfileNotFound

Ich hab keine Ahnung, was du mit deinem Post gestern 22:53 sagen willst:

Du hast sechsmal hintereinander dasselbe $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ geschrieben (nur weil du die Zeilen vertauschst, ändert das die Funktion nicht) - was soll das aussagen?

Was du untersuchen solltest ist, wie die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -fache Hintereinanderausführung $\begin{eqnarray*} \sigma^n = \underbrace{\sigma \circ \sigma \circ \ldots \circ \sigma}_{n-\mbox{mal}} \end{eqnarray*}$ aussieht. Und da ist es so, dass bezogen auf die Zykel-Darstellung von $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ jeweils $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Schritte gemacht werden, d.h. für $\begin{eqnarray*} \sigma = (12534) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ : 1 -> 2 -> 5 -> 3 -> 4 -> 1 -> 2 -> 5 -> 3 -> 4 -> 1, damit ist $\begin{eqnarray*} \sigma^2 = (15423) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \sigma^3 \end{eqnarray*}$ : 1 -> 2 -> 5 -> 3 -> 4 -> 1 -> 2 -> 5 -> 3 -> 4 -> 1 -> 2 -> 5 -> 3 -> 4 -> 1, damit ist $\begin{eqnarray*} \sigma^3 = (13245) \end{eqnarray*}$ .

23.01.2018, 10:40

sibelius84

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Zitat:

Original von ProfileNotFound
Oder meinst du das in 1.-4.:

1 ist immer $\begin{eqnarray*} \sigma(4) \end{eqnarray*}$ und 2 ist immer $\begin{eqnarray*} \sigma(1) \end{eqnarray*}$ ...?

Ja, genau das meine ich! Die Zykelschreibweise bedeutet immer, dass eine Zahl auf ihren rechten Nachbarn abgebildet wird. Du hast also (wie HAL9000 inzwischen auch schon sagte) fünfmal den selben Zyklus, fünfmal die selbe Abbildung aufgeschrieben. (Schon der Begriff "Zyklus" sagt so ein wenig, dass (12534), (41253), etc. die selben Abbildungen sind.)

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