Grenzwert

22.01.2018, 18:37

Boggie23

Grenzwert

Hallo,
es geht um den folgenden GW der mittels l Hospital bestimmt werden soll:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^2 cos( \frac{1}{x}) }{sin x} = \end{eqnarray*}$
Die Frage ist, ob der GW nach der Ableitung überhaupt existiert:

Also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^2 cos( \frac{1}{x}) }{sin x} =\lim_{x \to 0} \frac{2x cos( \frac{1}{x}) + sin(\frac{1}{x}) }{cos x} \end{eqnarray*}$
Der GW existiert doch nicht. Wie kann ich das nachweisen?

22.01.2018, 18:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Boggie23
es geht um den folgenden GW der mittels l Hospital bestimmt werden soll:

Ist das wirklich so vorgeschrieben?

Ausweg: Es ist

$\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{\sin(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin(x)} \cdot \lim_{x\to 0} x\cos\left(\frac{1}{x}\right) \end{align*}$ ,

sofern beide Grenzwerte rechts existieren - und das tun sie!

------------------------------------------------

L'Hospital sagt:

Ist $\begin{align*} f(x_0)=g(x_0)=0 \end{align*}$ und existiert $\begin{align*} \lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{align*}$ , so gilt $\begin{align*} \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{align*}$ .

Es sagt aber NICHT:

Existiert der Grenzwert $\begin{align*} \lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{align*}$ nicht, so existiert auch $\begin{align*} \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} \end{align*}$ nicht.

Diese Schlussfolgerung ist falsch - das Beispiel hier beweist es (und genau deswegen wurde es wohl auch angebracht). Augenzwinkern

22.01.2018, 19:31

Boggie23

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Es soll mit l Hospital gemacht werden, aber es geht ja hier nicht.
Wie kann ich jetzt beweisen, dass l hospital nicht anwendbar ist?
Dann zu dem.anderen
x/sinx ist nach hospital 1
Der andere ist 0, da der cos(1/x) beschränkt ist und x gegen 0 geht oder?

22.01.2018, 19:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Boggie23
Wie kann ich jetzt beweisen, dass l hospital nicht anwendbar ist?

Wenn die Voraussetzungen (s.o.) nicht erfüllt sind, darf man es nicht anwenden - was gibt's da noch groß zu palavern?

Zitat:

Original von Boggie23
x/sinx ist nach hospital 1
Der andere ist 0, da der cos(1/x) beschränkt ist und x gegen 0 geht oder?

Korrekt. Somit ist der Gesamtgrenzwert $\begin{eqnarray*} 1\cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

22.01.2018, 19:45

Boggie23

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Aber welche Voraussetzung ist genau nicht erfüllt. Ich habe es anscheinend nicht verstanden?

22.01.2018, 19:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
L'Hospital sagt:

Ist $\begin{align*} f(x_0)=g(x_0)=0 \end{align*}$ und existiert $\begin{align*} \lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{align*}$ , so gilt $\begin{align*} \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{align*}$ .

Und dieser Grenzwert existiert hier bei dir eben nicht.

22.01.2018, 20:07

Boggie23

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Aso ja genau und wie kann ich die nicht Existenz am besten beweisen?

22.01.2018, 20:40

HAL 9000

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Der Nenner $\begin{align*} \cos(x) \end{align*}$ konvergiert gegen 1.

Der Zähler $\begin{align*} 2x\cos\left(\frac{1}{x}\right)+\sin\left(\frac{1}{x}\right) \end{align*}$ oszilliert bei Annäherung an 0 zwischen den Werten -1 und 1, das sieht man etwa durch Betrachtung der Folge $\begin{align*} x_k = \frac{2}{(2k+1)\pi} \end{align*}$ .

23.01.2018, 08:02

Boggie23

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Danke

Wenn ich die Folge einsetze muss dann das n gegen unendlich laufen, da x gegen 0 geht?

23.01.2018, 09:42

HAL 9000

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Ich sehe kein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Um nachzuweisen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} f(x) \end{eqnarray*}$ nicht existiert reicht es, eine Folge $\begin{eqnarray*} x_k\to 0 \end{eqnarray*}$ zu finden, so dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to \infty} f(x_k) \end{eqnarray*}$ nicht existiert. Und $\begin{eqnarray*} x_k = \frac{2}{(2k+1)\pi} \end{eqnarray*}$ erfüllt genau das, denn für $\begin{eqnarray*} f(x) = 2x\cos\left(\frac{1}{x}\right)+\sin\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(x_k) = \frac{4}{(2k+1)\pi}\cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)+\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right) = 0 + \sin\left(k\pi+\frac{\pi}{2}\right) = (-1)^k \end{eqnarray*}$ , was offenkundig nicht konvergiert für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ .

23.01.2018, 17:28

Boggie23

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Ich habe k gemeint. Dachte du hast alles mit m geschrieben Big Laugh

Danke dir auf jeden Fall Freude

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