3 Gleichungen mit 10 "Unbekannten"

23.01.2018, 11:44	Joo525	Auf diesen Beitrag antworten »
3 Gleichungen mit 10 "Unbekannten" Hallo, Die Aufgabe entspricht keiner Aufgabe aus dem Studium, sondern ist eine Art Denksportaufgabe, ich gefunden habe: Ich habe 10 Materialien, die jeweils einen bestimmten Anteil Gold haben (zwischen 50 und 98%). Die Mengen der Materialien und deren Goldanteile sind gegeben. Nun möchte ich 1 Endprodukte haben mit einem von 3 Goldanteilen (diese Anteile sind fest: 95, 75 oder 55%). Um dieses Endprodukt zu erhalten, können beliebig viele verschiedene Ausgangsmaterialien genutzt werden, aber man muss beachten, dass immer nur bestimmte Mengen davon zugänglich sind. Ich habe mir schon überlegt, für zB 95%-iges Material Rohmaterialien von unter 80% zu eliminieren. Aber irgendwie fehlt mir der richtige Ansatz. Ich hoffe, hier kann mir jemand helfen. Danke!
23.01.2018, 12:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
D.h., du kannst dich frei entscheiden, welchen der drei Anteile 95%, 75% oder 55% du für dein Endprodukt wählst? Und das Ziel ist, möglichst viel Masse mit dem gewünschten Zielanteil zu haben? ------------------------------------------- Ok, ich gehe mal davon aus, dass das dein Ziel ist. Eine mögliche Strategie zur Zusammenstellung ist eigentlich relativ einfach: Zuächst mal ordnest du deine Ausgangsmaterialien nach dem Goldanteil, den größten zuerst, d.h. $\begin{eqnarray} 0.98 \geq p_1 > \ldots > p_n \geq 0.5 \end{eqnarray}$ mit zugehörigen Gesamtmassen $\begin{eqnarray} m_1,\ldots,m_n \end{eqnarray}$ . Dann hat die Gesamtvereinigung den Goldanteil $\begin{eqnarray} \bar{p} = \frac{1}{m} \sum_{k=1}^n p_km_k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m=\sum_{k=1}^n m_k \end{eqnarray}$ Jetzt kommt es drauf an, ob der Ziel-Goldanteil $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ über oder unter diesem Wert $\begin{eqnarray} \bar{p} \end{eqnarray}$ liegt: a) Sei $\begin{eqnarray} p > \bar{p} \end{eqnarray}$ : Dann fang mit den Materialien mit dem höchsten Goldanteil an, bis Anteil $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ unterschritten wird, d.h., ermittle dasjenige $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{\sum\limits_{k=1}^r p_km_k}{\sum\limits_{k=1}^r m_k} < p \leq \frac{\sum\limits_{k=1}^{r-1} p_km_k}{\sum\limits_{k=1}^{r-1} m_k}\qquad () \end{eqnarray}$ indem du von $\begin{eqnarray} r=2,3,\ldots \end{eqnarray}$ Schritt für Schritt vorangehst. Ein solches $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ existiert, sofern $\begin{eqnarray} p_1\geq p \end{eqnarray}$ ist. Dann nimmst du von den Materialien $\begin{eqnarray} k=1,\ldots,r-1 \end{eqnarray}$ jeweils den vollen Anteil $\begin{eqnarray} m_k \end{eqnarray}$ , und von Material $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ aber nur die Masse $\begin{eqnarray} m_r' \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p\cdot \left( \sum_{k=1}^{r-1} m_k + m_r' \right) &= \sum_{k=1}^{r-1} p_km_k + p_rm_r'\\ m_r' &= \frac{1}{p-p_r} \sum_{k=1}^{r-1} (p_k-p)m_k \end{eqnarray}$ Wegen () ist gesichert, dass $\begin{eqnarray} 0\leq m_r'< m_r \end{eqnarray}$ gilt. b) Ist hingegen $\begin{eqnarray} p < \bar{p} \end{eqnarray}$ , dann geht man ähnlich vor, man fängt nur "hinten" an aufzusammeln, d.h., bei den Materialien mit niedrigem Goldanteil. P.S.: Und wieder ein Fragesteller, der sich nicht wieder blicken lässt. Vielleicht sollte man Anfragen erst dann ernsthaft beantworten, wenn man sich auch vergewissert hat, dass es der Fragesteller auch ernst meinst statt sich sofort zu verp...en.
26.01.2018, 10:10	Joo525	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin leider die letzten Tage nicht dazu gekommen, sorry. Trotzdem, wenn auch etwas spät, aber besser spät als nie: Vielen Dank, der Ansatz hat mir sehr geholfen. Die Fragestellung ist etwas anders, als du sie interpretiert hattest. Ich bekomme vorgegeben, ob ich 95%, 75% oder 55% Goldanteil berechnen soll, soll dann die maximale Menge ermitteln und daraus dann schauen, welche der vorgegebenen Mengen ich maximal abdecken kann. Ist etwas kompliziert und schwer zu erklären. Aber mit deinem Ansatz habe ich es super lösen können. Nochmals vielen Dank.

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