Maßraum, integrierbare Funktion

23.01.2018, 18:10

Sabrina abc

Maßraum, integrierbare Funktion

Man gebe ein Beispiel für integrierbare Funktionen $\begin{eqnarray*} f_{n}, f \end{eqnarray*}$ zu einem Maßraum $\begin{eqnarray*} \left(\Omega, \mathcal A, \mu\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_{n} \to f \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_{\Omega}\! f_{n} \, d\mu \neq \int_{\Omega}\! f d\mu \end{eqnarray*}$ .

Ok... Ich verstehe nicht ganz. f_n wird nach f abgebildet... aber wenn n gegen unendl strebt dann sollen die Funktionen ungleich sein? Ich bräuchte das in Wörter... Mir fehlen Vokalbeln ich verstehe nicht was hier steht.

Als Beispiel wurde gegeben:

Wähle $\begin{eqnarray*} f_{n} : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f_{n}(x)=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu = \lambda = \end{eqnarray*}$ Lebesgue-Maß. Dann gilt $\begin{eqnarray*} f_{n} \to 0 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} \int_{} \! f_{n} \, d\lambda = \infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \lim \int_{} \! f_{n} \, d\lambda = \infty \end{eqnarray*}$ .

Gut ich wähle etwas aus R, hier 1/n, je größer n desto kleiner der Ausdruck, also geht der Ausdruck gegen 0.
Und nun verstehe ich nicht warum $\begin{eqnarray*} \int_{} \! f_{n} \, d\lambda = \infty \end{eqnarray*}$ gilt. Warum ist es unendlich?

24.01.2018, 01:28

10001000Nick1

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RE: Maßraum, integrierbare Funktion

Zitat:

Original von Sabrina abc
f_n wird nach f abgebildet...

Nein; $\begin{eqnarray*} f_n\to f \end{eqnarray*}$ bedeutet hier: Die Funktionfolge $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergiert fast überall punktweise gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . D.h. für fast alle $\begin{eqnarray*} x\in\Omega \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Sabrina abc
aber wenn n gegen unendl strebt dann sollen die Funktionen ungleich sein?

Auf der einen Seite bildet man zuerst die Integrale der Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ und bildet dann den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .
Auf der anderen Seite steht das Integral der Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Da hat man also zuerst den Grenzwert der Funktionenfolge gebildet und danach integriert.

Kurz gesagt: Du sollst eine Funktionenfolge finden, bei der man Grenzwert und Integral nicht vertauschen darf. (Unter bestimmten Voraussetzungen darf man das machen, siehe z.B. die Sätze von Beppo-Levi und Lebesgue.)

Zitat:

Original von Sabrina abc
Und nun verstehe ich nicht warum $\begin{eqnarray*} \int_{} \! f_{n} \, d\lambda = \infty \end{eqnarray*}$ gilt.

Das folgt direkt aus der Definition des Lebesgue-Integrals für einfache Funktionen:
Falls $\begin{eqnarray*} s=\sum_{i=1}^n \alpha_i \chi_{A_i} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha\geq 0 \end{eqnarray*}$ und die $\begin{eqnarray*} A_1, ..., A_n\subseteq \Omega \end{eqnarray*}$ paarweise disjunkt ( $\begin{eqnarray*} \chi_{A_i} \end{eqnarray*}$ ist die charakteristische Funktion der Menge $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ ), dann definiert man das Integral von $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \int_\Omega s\, d\mu:= \sum_{i=1}^n \alpha_i\cdot \mu(A_i) \end{eqnarray*}$ .

Hier sind die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ einfache Funktionen, bei denen diese Summe aus nur einem Summanden besteht (d.h. n=1): $\begin{eqnarray*} f_n=\frac 1n\cdot \chi_{\mathbb R} \end{eqnarray*}$ .
Und damit ist $\begin{eqnarray*} \int_\mathbb R f_n\, d\lambda=\frac 1n\cdot \underbrace{\lambda(\mathbb R)}_{=\infty}=\infty \end{eqnarray*}$ .

24.01.2018, 09:30

HAL 9000

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Es sei noch betont, dass das oben angegebene Beispiel nicht die ursprüngliche Aufgabenstellung erfüllt:

Gesucht werden dort integrierbare Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ . Der Begriff "integrierbar" bedeutet jedoch u.a. $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\Omega} f_n ~ \dd\mu < \infty \end{eqnarray*}$ , was das angegebene Beispiel nicht leistet.

24.01.2018, 14:10

Sabrina abc

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RE: Maßraum, integrierbare Funktion
Hallo Zusammen,

erstmal 1000 Dank für die Hilfe. Hab weitere Fragen ...

"Die Funktion Konvergiert fast überall punktweise gegen f... was macht sie an den stellen wo sie nicht gegen f konvergiert? Ist es dann Funktionsabhängig was geschieht oder gibt es eine Regel die besagt mit diese anderen Werte passiert etwas ganz bestimmtes?

Zitat:

Original von 10001000Nick1

Zitat:

Original von Sabrina abc
f_n wird nach f abgebildet...

Vielen Dank. Woran erkennst du auf einem Blick, dass hier keine "Abbildung" sondern von "fast überall Konvergenz die Rede ist" ?

Zitat:

Original von 10001000Nick1

Zitat:

Original von Sabrina abc
aber wenn n gegen unendl strebt dann sollen die Funktionen ungleich sein?

Vielen Dank. Jetzt verstehe ich was dort steht. könnt ihr mir ein ganz einfaches "Zahlen Beispiel geben, damit ich das verinnerliche bzw. ein Gefühl dafür bekomme? Das wäre echt Super.

Zitat:

Original von 10001000Nick1

Zitat:

Original von Sabrina abc
Und nun verstehe ich nicht warum $\begin{eqnarray*} \int_{} \! f_{n} \, d\lambda = \infty \end{eqnarray*}$ gilt.

Oh... ich gehe davon aus, das ich wohl auch nicht verstanden habe warum f_n ->0 gilt... Das hat nichts damit zu tun das für größere n´s die Werte kleiner werden... oder doch? So habe ich es nämlich als erstes vermutet ... Vielen Dank für die saubere Ausführung. Das ist echt toll wie du erklärst.

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Hier sind die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ einfache Funktionen, bei denen diese Summe aus nur einem Summanden besteht (d.h. n=1): $\begin{eqnarray*} f_n=\frac 1n\cdot \chi_{\mathbb R} \end{eqnarray*}$ . .

Ok... Entschuldige wenn die Frage doof klingt... Aber woher weiß man das diese einfache Funktionen sind bei denen die Summe aus nur einem Summanden besteht? Und warum ist

$\begin{eqnarray*} \lambda \left(\mathbb R \right) \end{eqnarray*}$ = unendlich? verwirrt

Zitat:

Original von HAL 9000
Es sei noch betont, dass das oben angegebene Beispiel nicht die ursprüngliche Aufgabenstellung erfüllt

Ich habe tatsächlich diese Bedingung gelesen, aber da ich mit der Aufgabe so aufgeschmissen war (die Aufgabenstellung zu verstehen), dachte ich ich lese an der falschen Stelle. Danke für den Hinweis. Kannst du ein (sehr leicht verständlich, ich muss mich da vortasten) Beispiel angeben der die Aufgabe erfüllt?

24.01.2018, 14:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sabrina abc
Und warum ist $\begin{eqnarray*} \lambda \left(\mathbb R \right) \end{eqnarray*}$ = unendlich?

Anders formuliert: Wie lang ist eine Gerade?

Ehrlich, so eine Frage wie deine kann man eigentlich nur stellen, wenn man überhaupt keinen Dunst vom Lebesguemaß hat. unglücklich

Zitat:

Original von Sabrina abc
Aber woher weiß man das diese einfache Funktionen sind bei denen die Summe aus nur einem Summanden besteht?

Und auch hier wieder ungeheure Schwächen bei Grundbegriffen: Einfache Funktionen sind solche, die höchstens abzählbar viele Funktionswerte annehmen können, es sei $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ die Menge aller dieser Funktionswerte. Die abzählbar viele Urbilder $\begin{eqnarray*} A_w:=f^{-1}(\{w\}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ bilden dann eine Zerlegung des Grundraumes $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , und man kann die Funktion schreiben gemäß $\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{w\in W} w\cdot 1_{A_w}(x) \end{eqnarray*}$ . Integrale über solche einfachen Funktionen sind schlicht per

$\begin{eqnarray*} \int \sum_{w\in W} w\cdot 1_{A_w} ~ \dd\mu := \sum_{w\in W} w\cdot \mu(A_w) \end{eqnarray*}$

definiert! Speziell der Fall einer konstanten Funktion ist besonders einfach: Hier hat man nur den einen Funktionswert $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ , dessen Urbild ist der gesamte Grundraum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , es ist also schlicht und einfach $\begin{eqnarray*} f(x) = w = w\cdot 1_{\Omega}(x) \end{eqnarray*}$ . D.h., eine konstante Funktion ist der Trivialfall einer einfachen Funktion.

Zitat:

Original von Sabrina abc
Kannst du ein (sehr leicht verständlich, ich muss mich da vortasten) Beispiel angeben der die Aufgabe erfüllt?

Selber Grundraum wie in deinem Beispiel, aber als Funktionenfolge werden die (wiederum) einfachen Funktion $\begin{eqnarray*} f_n(x) = n\cdot 1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}(x) \end{eqnarray*}$ gewählt. Dann ist ebenfalls $\begin{eqnarray*} f_n\to 0 \end{eqnarray*}$ (punktweise) mit dann aber $\begin{eqnarray*} \int f_n \dd\lambda = 1 \end{eqnarray*}$ (jeweils Rechteck der Breite $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und Höhe $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ).

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