Inverse

24.01.2018, 07:38

AlexanderStudent236

Inverse

Hallo,
wenn ich $\begin{eqnarray*} g \in end(V) \end{eqnarray*}$ habe und weis dass g ein Isomorphismus ist, wie kann ich dann die inverse Abbildung von berechnen zu

$\begin{eqnarray*} g^2 + g + id=0 \end{eqnarray*}$

Muss man da umstellen? verwirrt

24.01.2018, 08:49

klarsoweit

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RE: Inverse
Wende auf beide Seiten die inverse Abbildung von g an. smile

24.01.2018, 08:49

system-agent

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Versuche doch mal Deine Gleichung so umzustellen, dass dort $\begin{eqnarray*} id=g\cdot(?) \end{eqnarray*}$ steht. Was bedeutet das dann in Bezug auf inverse Abbildungen?

24.01.2018, 08:58

AlexanderStudent236

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RE: Inverse
Wenn ich die Inverse anwende, erhalte ich
$\begin{eqnarray*} g^{-1}(g^2 + g + id) =0 g^{-1}g^2 +g^{-1}g + g^{-1}id=0 g+id + g^{-1}=0 g^{-1} =-g-id \end{eqnarray*}$
So?

24.01.2018, 09:13

klarsoweit

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RE: Inverse
Sorry, irgendwas habe ich in die falsche Hirnwindung bekommen. geschockt

Ich fange nochmal vorne an:

Zitat:

Original von AlexanderStudent236
wie kann ich dann die inverse Abbildung von berechnen zu

$\begin{eqnarray*} g^2 + g + id=0 \end{eqnarray*}$

Soll jetzt $\begin{eqnarray*} g^2 + g + id \end{eqnarray*}$ die Null-Abbildung sein oder wie muß man das verstehen? Am besten postest du mal den originalen Aufgabentext.

24.01.2018, 09:28

AlexanderStudent236

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RE: Inverse
Schau mal smile

24.01.2018, 10:10

klarsoweit

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RE: Inverse
Ah ja, das sieht schon deutlich anders aus als das, was du zuerst gepostet hast. Nun denn, erst mal ist zu zeigen, daß f ein Isomorphismus ist. Das läßt sich relativ leicht mit einem Widerspruch beweisen: nimm an, daß f kein Isomorphismus ist. Was müßte es dann geben? Die Berechnung der Inversen geht dann doch über den Weg, den du schon gepostet hast.

24.01.2018, 11:58

AlexanderStudent236

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RE: Inverse
D.h meine Inverse ist -f + id?

Für den Isomorphismus würde auch folgendes funktionieren:

Ich brauche ja die Bijektivität.
Da wir schon einen Endomorphismus haben reicht es also dafür die injektivität zu zeigen. Denn die Surjektivität folgt dann aus der Dimensionsformel.
Also injektiv bedeutet ker =0
Also sei v aus dem Kern dann ist

$\begin{eqnarray*} (f^2 +f+ id)(v)=0 f^2(v)+f(v)+id(v) =0 f(0) +0 +v=0 v=0 \end{eqnarray*}$
Oder komplett falsch? smile

24.01.2018, 12:30

klarsoweit

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RE: Inverse
Nein, ist soweit ok.

Zitat:

Original von AlexanderStudent236
D.h meine Inverse ist -f + id?

Nein, richtig ist -f - id . smile

24.01.2018, 13:12

AlexanderStudent236

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RE: Inverse
Danke dir smile

Formal passt das auch?
Kann ich schreiben anfangs $\begin{eqnarray*} v \in ker f \end{eqnarray*}$ ?

Oder muss ich das anders schreiben weil f ja nur ein Teil der Funktionsvorschrift ist?

24.01.2018, 13:17

klarsoweit

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RE: Inverse

Zitat:

Original von AlexanderStudent236
Kann ich schreiben anfangs $\begin{eqnarray*} v \in ker f \end{eqnarray*}$ ?

Du schreibst: Sei $\begin{eqnarray*} v \in ker(f) \end{eqnarray*}$ . Aus der Voraussetzung f² + f + id = 0 folgt dann: ...

24.01.2018, 13:20

AlexanderStudent236

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RE: Inverse
Danke dir smile

Jetzt ist alles klar
Perfekt smile