Integral Lösen

24.01.2018, 14:04	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Lösen Hallo alle zusammen ich soll verschiedene Integrale Lösen und beobachten was dann passiert. Ich weiß leider nicht wie ich diese berechnen soll kann mir jemand auf die sprünge helfen? Wäre echt nett
25.01.2018, 10:48	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider ist die Aufgabe ziemlich formalistisch gestellt. Ich übesetze die Aufgabe a) mal in die Alltagssprache und zeige eine Lösung: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Auf einem Paraboloid $\begin{eqnarray} z=x^2+y^2 \end{eqnarray}$ ist ein Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec V=(y\|-x\|z) \end{eqnarray}$ gegeben, das man z.B. als Kraftfeld interpretieren kann. Gesucht ist die mechanische Arbeit A, die man beim Gang entlang eines geschlossenenen Weg auf der parabolischen Fläche gegen das Kraftfeld verrichtet. Gesucht ist also das Wegintegral $\begin{eqnarray} A=\oint \vec V\,d\vec x \end{eqnarray}$ Mit dem Stokeschen Satz kann man dieses Wegintegral in ein Flächenintegral umwandeln. $\begin{eqnarray} A=\int \int rot(\vec V)\,d\vec A \end{eqnarray}$ Bei Aufgabe a) gilt für das Vektorfeld $\begin{eqnarray} rot(\vec V)=rot(y\|-x\|z)=(0\|0\|-2) \end{eqnarray}$ Das Vektorfeld $\begin{eqnarray} rot(\vec V) \end{eqnarray}$ hat also zwei wichtige Eigenschaften, welche das Oberflächenintegral beträchtlich vereinfachen: Eigenschaft 1: Es zeigt in z-Richtung. Eigenschaft 2: Es ist vom Betrag überall gleich. Deshalb muss man nicht das Oberflächenintegral auf der gekrümmten Fläche berechnen, sondern nur auf dem ebenen Dreieck in der xy-Ebene, welches durch die 3 Punkte (0\|0), (0\|1), (1\|1) begrenzt wird (Begründung!). Wegen Eigenschaft 2 muss man gar nicht mehr integrieren, sondern nur folgendes einfache Produkt berechnen $\begin{eqnarray} \|A\|=\underbrace{\text{Betrag des Vektorfeldes }rot(y\|-x\|z)}_{=2} \cdot \underbrace{\text{Betrag der Dreiecksfläche }}_{=0,5}=1 \end{eqnarray}$ Um das richtige Vorzeichen des Integrals A zu finden, muss man nochmals nachdenken.

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