Polynomgleichung mit höchstens m verschiedenen Lösungen

24.01.2018, 23:31	Michi98*	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomgleichung mit höchstens m verschiedenen Lösungen Meine Frage: Die Aufgabe: Zeigen Sie für c0,...,cm (wobei hier m und 0 Index von c sind) Element K, nicht alle =0, dass die "Polynomgleichung": cmx^m+...+c1x+c0=0. (wobei hier m, 1 und 0 Index von c sind) nächstes m verschiedene Lösungen x Element K hat. Meine Ideen: Als Hinweis steht noch: Führen Sie einen Widerspruchsbeweis unter Verwendung von der Vandermonde´sche Determinante... ich finde aber nicht mal einen Ansatz für diese Aufgabe... ich hoffe auf schnelle Unterstützung Mit freundlichen Grüßen Michi
24.01.2018, 23:51	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> \det\left(\begin{pmatrix}<br /> 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\<br /> 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\<br /> 1 & x_3 & x_3^2 & \cdots & x_3^{n-1} \\<br /> \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\<br /> 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}<br /> \end{pmatrix}\right) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) \end{eqnarray}$ Das sagt die Vandermonde-Determinante. Nun stelle dir vor, du hättest m+1 unterschiedliche Nullstellen $\begin{eqnarray} x_0,x_1,\ldots,x_m \end{eqnarray}$ deines Polynoms. Dann könntest du eine (m+1)x(m+1)-Matrix nach dem obigen Schema betrachten, mit den x_i entsprechend eingesetzt. Betrachte dann den Vektor deiner Polynomkoeffizienten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} c_0 \\ c_1 \\ \vdots \\ c_m \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Was passiert nun, wenn du die Matrix mit diesem Vektor multiplizierst?
25.01.2018, 00:21	Michi98*	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hätte ich höchstens Lösungen bis zu dem punkt cm oder nicht ?
25.01.2018, 20:15	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Denk noch mal genau drüber nach. Schreib es dir sauber auf. Wenn du dann noch nicht drauf kommst, betrachte 2-3 selbst gewählte Zahlenbeispiele.

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