Erweiterter Mittelwertsatz und Nullstellen

25.01.2018, 15:04	bambaum	Auf diesen Beitrag antworten »
Erweiterter Mittelwertsatz und Nullstellen Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe hier eine Aufgabe, an der ich mir die Zähne ausbeiße. Ich erwarte keine Lösung, aber vielleicht ein paar Tipps, in welcher Richtung ich suchen müsste. Zunächst einmal mein Problem: Sei $\begin{eqnarray} I \subseteq R \end{eqnarray}$ ein offenes Intervall und die Funktionen $\begin{eqnarray} f,g:I \mapsto R \end{eqnarray}$ differenzierbar. Außerdem gelte $\begin{eqnarray} f'(x)g(x) \not= f(x)g'(x) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in I \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: Hat $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ zwei verschiedene Nullstellen, so besitzt $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ stets eine Nullstelle dazwischen. Erst einmal kann ich mir aus der angegebenen Einschränkung nicht wirklich eine Intuition bilden. Das muss aber nicht unbedingt notwendig sein, vielleicht wurde die auch wirklich nur so gewählt, um die Übungsaufgabe möglich zu machen. Meine Ideen: Ich war mir bisher recht sicher, dass an irgendeiner Stelle der Mittelwertsatz anzuwenden ist. Ich habe einige Herangehensweisen ausprobiert, sei es direkt, via Widerspruch oder Kontraposition oder vom Ziel rückwärts zu arbeiten. Ich kann einige kleinere Aussagen zB über Steigunge an gewissen Punkten aus der Vorraussetzung und weiteren Hilfssätzen herleiten, aber an keinem Punkt kann ich sie wirklich nützlich einbringen oder einen Widerspruch herleiten.
25.01.2018, 15:15	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erweiterter Mittelwertsatz und Nullstellen Vermutlich hilft es, wenn man folgendes sieht: Sei $\begin{eqnarray} h(x) = \frac { f(x) } { g(x) } \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} g(x) \neq 0 \end{eqnarray}$ . (Nehmen wir das mal überall an und hoffen auf einen Widerspruch.). Dann ist $\begin{eqnarray} f'(x) g(x) \neq f(x) g'(x) \end{eqnarray}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray} h'(x) \neq 0 \end{eqnarray}$ . Das sieht doch schon mal deutlich netter aus
25.01.2018, 15:56	bambaum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erweiterter Mittelwertsatz und Nullstellen Hi, danke für die schnelle Antwort. Habe mir das direkt mal angeschaut. Ja, hilfreich war das auf jeden Fall, selbst hätte ich das nicht gesehen. Weshalb das so ist, kann ich auch nachvollziehen (Anw. von Kettenregel). Wie ich jetzt weitermachen soll ist mir allerdings immernoch nicht ganz klar. Zunächst hatte ich mir eben gedacht, man könnte vielleicht etwas in die Richtung L'Hopital anweden, aber dafür sind, soweit ich sehen kann, die Voraussetzungen nicht erfüllt. Dann hab ich mir überlegt, ob man mit $\begin{eqnarray} h'(x) \not= 0 \end{eqnarray}$ einen Widerspruch herleiten könnte. Dafür müsste sich ein $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ finden, sodass (da nach Annahme $\begin{eqnarray} g(x_0)\not=0 \end{eqnarray}$ überall) $\begin{eqnarray} f'(x_0) \end{eqnarray}$ sowie entweder $\begin{eqnarray} g'(x_0) = 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f(x_0) = 0 \end{eqnarray}$ oder beides (sodass eben der sich aus der Quotenregel ergebende Bruch 0 wird). Für $\begin{eqnarray} f'(x_0)=0 \end{eqnarray}$ finde ich leicht so ein x_0 (f hat "Hochpunkt", da zwei Nullstellen und diffbar/stetig), das reicht dann aber nicht aus, da für dieses x_0 gilt $\begin{eqnarray} g'(x_0) \not= 0 \end{eqnarray}$ und sowieso $\begin{eqnarray} f(x_o) \not=0 \end{eqnarray}$ . Kannst du mir vielleicht noch einmal einen Tipp geben, wie der Weg zur Lösung ungefähr aussehen würde, bzw. was dabei maßgeben zur Anwendung kommt? Mein Problem ist momentan, dass ich recht verunsichert bin und überhaupt keine Richtung finde. Liebe Grüße und besten Dank.
25.01.2018, 16:01	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erweiterter Mittelwertsatz und Nullstellen Du weißt, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ zwei Nullstellen hat. Welchen Funktionswert hat dann $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ an den Stellen. Was sagt dann der Satz von Rolle oder der Mittelwertsatz über $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ aus? Schliesslich ist der Quotient von differenzierbaren Funktionen wieder differenzierbar, solange man nicht durch 0 teilt.
25.01.2018, 16:11	bambaum	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, Ja -- ich denke nach diesem deutlichen Stupser sehe ichs. Wenn $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ die Nullstellen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sind gilt ja $\begin{eqnarray} h(a) = h(b) = 0 \end{eqnarray}$ . Nach Rolle od. Mittelwertsatz existiert dann ein $\begin{eqnarray} x \in (a,b) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h'(x)=0 \end{eqnarray}$ , was im Widerspruch zur Annahme steht. Sehr schön! Ich bedanke mich vielmals Wünsche noch eine schöne Zeit.
25.01.2018, 16:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »

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