Duale Basis

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Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »
Duale Basis
Hallo,
ich habe Frage zu folgender Aufgabe.
Gleich ganz oben:
Wie kommt man darauf, dass E[b^1] B=(1 0 0)
Ich hätte gedacht man muss die basiselemente aus E in B darstellen?
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Duale Basis
Kann jmd bitte weiterhelfen? smile
 
 
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

die Lösung ist etwas verwirrend, man muss sich erstmal überlegen was gemeint ist, man könnte das einfacher und schneller haben. - Nun, in der ersten Zeile der Lösung steht ja die Forderung

.

Das heißt: Die Abbildung b^1 soll gerade den ersten Vektor aus B auf 1 abbilden, und die anderen beiden auf 0. Also eben E[b_1]B = (1 0 0). Für b^2, b^3 analog.

LG
sibelius84
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habe es noch nicht ganz verstanden:
Also ich habe den Vektor b_1 =(1,1,0)
Ich muss also einen Vektor finden der multipliziert 1 ergibt. Aber es gibt doch auch die Möglichkeit (0,1,0)?
Oder was sehe ich falsch?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

(0,1,0) bildet den 2. Vektor nicht auf 0 ab.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie verstehe ich es nicht genau. Was macht die lineare Abbildung b^1 genau?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

den 1. Basisvektor auf 1 ab, den 2. und 3. Basisvektor auf 0.
den 2. Basisvektor auf 1 ab, den 1. und 3. Basisvektor auf 0.
den 3. Basisvektor auf 1 ab, den 1. und 2. Basisvektor auf 0.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann ich mir das genau vorstellen. Es geht doch um die Abbildungsmatrix. Diese bekommt man doch immer, indem man die Basis abbildet und diese dann in der neuen Basis des Zielraums darstellt und die Koeffizienten in die Matrix schreibt. Man verwendet also eine Koordinatenabbildung.
Wenn ich in diesem Beispiel vom R^3 nach R abbilde, brauche ich für die Abbildung also eine 1×3 Matrix. So wie genau bilde ich jetzt meinen ersten Vektor unter b^1 genau ab. Bilde ich einfach die 1. Koordiante auf 1 ab oder ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Lineare Abbildungen bilden nicht Koordinaten ab sondern Vektoren. Die 1x3-Matrizen, die du suchst, sind die Zeilen der Matrix B(id)E. Was willst du dir vorstellen ? Es steht alles in der Lösung.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde gerne wissen, wie ich auf meine 1. Matrix 1 0 0 komme?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

, weil den 1. Vektor auf 1, den 2. Vektor auf 0, den 3. Vektor auf 0 abbildet.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum schreibst du jetzt einen Vektor hin und keine Matrix?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine 1x3-Matrix. Ich kann nicht (100) schreiben, sonst glaubst du, da steht die Zahl 100 in einer Klammer.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Elvis glaube ich weiter oben schon einmal erwähnt hat, ist das Mantra der Abbildungsmatrizen mit Basiswechsel das folgende:


In den Spalten der Matrix stehen die Vektoren , dargestellt bezüglich der Basis C.


Vorliegend haben wir ja den Fall: mit und B bestehend aus den drei Vektoren wie auf dem Blatt angegeben.

Die Forderung an lautet: .

Daher steht in der ersten Spalte der Matrix eine 1, und in der zweiten und dritten Spalte eine 0.
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