Vektor: Lineare Abhängigkeit

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The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »
Vektor: Lineare Abhängigkeit
Hallo.
In einer Aufgabe war zu prüfen, ob der eine Vektor aus dem anderen linear erzeugbar ist.
Ich habe die Aufgabe gelöst, dabei kam im linearen Gleichungssystem in den letzten Zeilen raus:

und

, d.h. also, dass dann in der zweiten Gleichung 0 = 0 steht.
Hier kann man für alles einsetzen, und die Gleichung ist erfüllt. also ist ja nicht unbedingt gleich Null. Aber ich denke, dass die Lösung trivial ist und die vektoren deshalb linear unabhängig sind. Stimmts ?

Nennt man die Form 0=0 auch allgemeingültig (=>trivial) ?


- Wenn ein Vektor vom anderen linear erzeugbar ist, dann gilt doch zwangsweise auch, dass der andere vom ersten linear erzaugbar ist oder? Und natürlich auch dasselbe, wenn man mehrere Vektoren hat, da sie eine wehcselseitige Beziehung haben.

Danke.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

"trivial" heisst im ursprünglichem Sinne "einfach" - und nicht "allgemeingültig".

Bei der linearen Unabhängigkeit von Vektoren müssen in der Beziehung zwischen i Vektoren und dem Nullvektor



alle Multiplikatoren Null sein. Dies nennt man dann die triviale Relation, in ihr sind alle gleich Null.

Im übrigen poste mal das Beispiel, denn deine Angaben sind etwas konfus.

Gr
mYthos
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

das Beispiel:


ich komme auch in anderen Beispielen immer wieder auf 0=0,

auch z.B. bei dieser Aufgabe hier:

Man weiß nach etwas genauerem hinsehen, dass r_1 z.B. 7/4 sein könnte und r_2 = 1 , dann käme der Nullvektor raus.

4r_1 - 7r_2 = 0
und - 8r_1 + 14r_2 = 0
und 16r_1 - 28r_2 = 0



Ich muss lineare Gleichungssysteme auch nochmal wiederholen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

In dem System





gibt es auf alle Fälle (und das ist immer so) die triviale Lösung, also




Wir haben noch zu ermitteln, ob ausser der trivialen Lösung noch andere (nichtriviale) Lösungen existieren ( bzw. ungleich Null)

und müssen Lösungen aller drei Gleichungen sein. Man sieht nun, dass alle drei Gleichungen voneinander abhängig sind, d.h. die zweite und dritte ein Vielfaches der ersten ist (2. und 3. sind redundant, überflüssig). Daher ist die Lösungsmenge nur aus der ersten Gleichung zu bestimmen, wie du es ja auch (intuitiv) richtig gemacht hast: Man kann eine Variable beliebig (ungleich Null!) wählen und daraus die andere berechnen, z.B. auch




Somit existiert ausser der trivialen auch die nichttriviale Relation und deswegen sind die beiden Vektoren linear abhängig.



----

Bei zwei Vektoren kann man die lin. Abhängigkeit allerdings noch einfacher ermitteln: Wir prüfen nach, ob ein Vektor ein Vielfaches des anderen ist, also ob es eine reelle Zahl t gibt, wobei gilt:



4t = -7
-8t = 14
16t = -28

und sehen sofort: , also sind die beiden Vektoren linear abhängig. Hätte das System für t keine Lösung, wären die beiden Vektoren linear unabhängig.

Was siehst du nun beim ersten Beispiel? Kann man auch feststellen, ob beispielsweise der erste Vektor das .. - fache des zweiten ist?


Gr
mYthos
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.
ja, man muss beim ersten beispiel den 2ten Vektor mit -3 multiplizieren, um den ersten zu erhalten, also sind sie linear abhängig


Zitat:
Daher ist die Lösungsmenge nur aus der ersten Gleichung zu bestimmen, wie du es ja auch (intuitiv) richtig gemacht hast: Man kann eine Variable beliebig (ungleich Null!) wählen und daraus die andere berechnen, z.B. auch


Was ist, wenn man hier drei oder mehr Vektoren hat, dann kann man ja nicht einfach etwas für r_1 aussuchen, dann hätte man, da man ja nur die erste Gleichung genommen hat (denn die zweite und drite sind redundant), eine Gleichung mit 2 unbekannten. r_2 und r_3 müsste man berechnen?
wenn man die zweite gleichung zur hilfe nimmt, kommt ja wieder nur eine triviale Lösung heraus, da sie in vielfaches der ersten Gleichung ist. Was macht man hier?

ps: kommt im linearen gleichungssystem denn nie eine Lösung für r_1, r_2 usw raus ? kommen immer Lösungen der Form 0=0 oder 1=1 raus?


Danke.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was ist, wenn man hier drei oder mehr Vektoren hat


Nun Mythos hat wohl erkannt das die Gleichungen alle samt sich bis auf einen Faktor gleichen. Daraus resultiert das es reicht eine Gleichung zu betrachten. Im Normalfall ist dies aber nicht so. Dann greift man zum Gaußschen Algorithmus und ist fertig. Es gibt eine Paar Sachen die Du Dir mal (ohne Beweis ^^) merken

Hast Du n+1 Vektoren aus einem R^n sind sie immer linear abhängig. Paarweise orthogonale Vektoren sind lineaer Unabhängig.

Normalerweise sollte aber der Rückgriff auf den gaußschen Algorithmus ausreichen, ich hoffe jener ist Dir ein begriff!

edit

Ach ja, solche "aktualisierungs Posts" spar Dir bitte!

edit2

Um es noch einmal zu sagen, lineare Unabhängigkeit heißt das es ausschließlich die triviale Lösung gibt, die triviale Lösung existiert immer es ist nur zu prüfen ob es die einzige ist. Geht prima mit Gauß!
 
 
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Man kann eine Variable beliebig (ungleich Null!) wählen und daraus die andere berechnen,

@mythos:
aber wieso ist es denn gerechtfertigt, dass ich mir einfach für r_1 etwas ausdenke und dann r_2 berechne?


Kommt im linearen Gleichungssystem mit nur 2 Vektoren immer die Form 0=0 am Ende heraus, da ja der eine Vektor der Gegenvektor des anderen sein muss, damit die Gleichung erfüllt ist? Ich habe ein wenig gerechnet, und dabei ist es immer wieder in der Form herausgekommen.
Bei drei vekoren kamen dann "richtige" Lösungen für die Faktoren "c" heraus

noch etwas:
Was mache ich, wenn ich mehr als drei Vektoren habe? Wenn ich die in ein lineares Gleichungssystem übertrage, dann habe ich mehr als drei Faktoren (also unbekannte), aber nur drei Gleichungen. Muss ich die Vektoren dann zunächst soweit zusammenfassen (addieren), bis ich drei oder weniger Vektoren habe?
- Ein Gleichungssystem ist doch mit mehr unbekannten Variablen als Gleichungen nicht lösbar.

@Mazze:
Ja das Gaußsche Eliminationsverfahren sagt mir was, muss ich mir aber noch anschauen..
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
aber wieso ist es denn gerechtfertigt, dass ich mir einfach für r_1 etwas ausdenke und dann r_2 berechne?


Ganz einfach. Für lineare Abhängigkeit musst Du die Existens einer nichttrivialen Lösungen zeigen. Wenn Du eine Lösung findest ist bereits alles gezeigt. Und genau das macht Mythos. Er sucht sich ein r1 und berechnet ein zugehöriges r2. Da r1 und r2 auch alle anderen Gleichungen erfüllen ist eine nichttriviale Lösung gefunden. Damit ist die Lineare Abhängigkeit gezeigt da es min. eine nichttriviale Lösung gibt.

Zitat:
Kommt im linearen Gleichungssystem mit nur 2 Vektoren immer die Form 0=0 am Ende heraus, da ja der eine Vektor der Gegenvektor des anderen sein muss, damit die Gleichung ... erfüllt ist?


Nein, allein die Annahme das ein Vektor nur dann die Gleichung erfüllt wenn er mit dem Gegenvektor ins System gesetzt wird ist falsch. In etwa sind folgende Vektoren linear unabhängig



Du wirst aber mit Leichtigkeit feststellen das e1 nicht der Gegenvektor zu e2 ist aber die Gleichung



nur für alle lambda = 0 erfüllen. Hoffentlich hab ich die Frage jetzt nicht falsch verstanden.


Zitat:
Ein Gleichungssystem ist doch mit mehr unbekannten Variablen als Gleichungen nicht lösbar.


Das ist falsch, ein Gleichungssystem wo mehr Unbekannte als Gleichungen vorhanden sind hat im allgemeinen sogar unendlich viele Lösungen. Bei einem Gleichungssystem mit mehr unbekannten als Gleichungen wirst Du immer eine Parameterabhängige Lösung bekommen.

Wir betrachten einmal 4 Vektoren des R²



Wir werden jetzt umständlich Beweisen das diese 4 Vektoren linear abhängig sind.



Glücklicherweise liegt die Matrix bereits in Zeilen-Stufenform vor, also folgt:



<=>



Aus der ersten Zeile folgt



<=>



Daraus folgt die Lösungsmenge



So hier sieht man deutlich das sogar unendlich viele nichttriviale Lösungen existieren und damit folgt das die 4 Vektoren lineare abhängig sind. 2 Gleichungen , 4 Unbekannte, kein Problem.

Zum Gaußschen Algorithmus

Dieser ist elementar für die lineare Algebra (und genau das machst Du gerade), weswegen Du alsbald damit anfangen solltest ihn zu lernen.
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ganz einfach. Für lineare Abhängigkeit musst Du die Existens einer nichttrivialen Lösungen zeigen. Wenn Du eine Lösung findest ist bereits alles gezeigt. Und genau das macht Mythos. Er sucht sich ein r1 und berechnet ein zugehöriges r2. Da r1 und r2 auch alle anderen Gleichungen erfüllen ist eine nichttriviale Lösung gefunden.

und was ist, wenn durch das Einsetzen einer Zahl für r_1, die man sich aussucht, keine Lösung für r_2 rauskommt? Muss ich dann immer wieder etwas neues antesten ?

Zitat:
Du wirst aber mit Leichtigkeit feststellen das e1 nicht der Gegenvektor zu e1 ist aber die Gleichung
nur für alle lambda = 0 erfüllen. Hoffentlich hab ich die Frage jetzt nicht falsch verstanden


Dann hab ich das üebrsehen. Ok, 2 Vektoren sind auch linear abhängig, wenn die Faktoren (lambda) sämtlich 0 sind. Aber dann ist es ja schon wieder eine triviale Lösung.
Aber ich habe doch recht mit meiner Aussage, wenn wir alle lambda=0 nicht betrachten. Dann müssten die beiden doch Gegenvektoren voneinander sein oder?


Ja, ich fange gleich mal an mit Gleichungssystemen.

Danke.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und was ist, wenn durch das Einsetzen einer Zahl für r_1, die man sich aussucht, keine Lösung für r_2 rauskommt? Muss ich dann immer wieder etwas neues antesten ?


Du hast also eine Gleichung



a,b sind reelle Konstanten != 0. Ich möchte jetzt von Dir wissen wie durch bel. wählen von r1 keine Lösung von r2 zustande kommen soll. Du darfst r1 sogar 0 wählen und es kommt immer eine Lösung für r2 heraus.

Um aber auf die Frage zurückzukommen was man sonst macht, man nimmt sich alle Gleichungen und lößt das entstandene Gleichungssystem mittels Gauß. Der Gaußsche Algorithmus liefert Dir dann ganz genau die Aussage über die Lösungen.

Zitat:
Aber ich habe doch recht mit meiner Aussage, wenn wir alle lambda=0 nicht betrachten


Du willst also den Kern der linearen Unabhängigkeit entfernen? Und was willst Du dann zeigen? Wenn Du kein lambda = 0 zulässt wirst Du mit der Gleichung nur noch linear Abhängige Vektoren ausdrücken können. Ein Vektor muss nicht Gegenvektor von einem anderen sein um linear abhängig von ihm zu sein.

folgende Vektoren sind linear abhängig

The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
a,b sind reelle Konstanten != 0. Ich möchte jetzt von Dir wissen wie durch bel. wählen von r1 keine Lösung von r2 zustande kommen soll. Du darfst r1 sogar 0 wählen und es kommt immer eine Lösung für r2 heraus.

ich glaube du meinst r_1,r_2 sind reelle Konstanten !=0.
Du sagst, ich darf sogar r_1 sogar 0 wählen, aber dann müsste r_2 ja auch wieder Null sein, wenn der Vektor nicht der Nullvektor ist.
Am besten ich schau mir das nochmal genauer an, dann komme ich nochmal darauf zurück. Augenzwinkern


Zitat:
Ein Vektor muss nicht Gegenvektor von einem anderen sein um linear abhängig von ihm zu sein.


Ich habe mich grade falsch ausgedrückt, sorry.

ich meinte eigentlich, dass die beiden Endvektoren in der Gleichung , also die Vektoren, die nach der Durchführung der S-Multiplikation entstehen, die Gegenvektoren zueinander sind.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Achso,

ja natürlich der Gegenvektor b zu a ist definiert durch



Stell einfach um und Du hast die Aussage



<=>



Zitat:
ich glaube du meinst r_1,r_2 sind reelle Konstanten !=0.


Nein, a,b sind reelle Konstanten die r1 r2 sind doch die Faktoren die gesucht sind....

Zitat:
Du sagst, ich darf sogar r_1 sogar 0 wählen, aber dann müsste r_2 ja auch wieder Null sein


Ja und? wo ist das problem? Ich habe ein r1 gewählt und bekomme ein eindeutiges r2 dazu. In diesem Fall 0.
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ja und? wo ist das problem? Ich habe ein r1 gewählt und bekomme ein eindeutiges r2 dazu. In diesem Fall 0.

Aber das ist ja eine triviale Lösung. wenn du r_1 als Null festsetzt, und für r_2 Null rauskommt ist das eine triviale Lösung.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber das ist ja eine triviale Lösung. wenn du r_1 als Null festsetzt, und für r_2 Null rauskommt ist das eine triviale Lösung.


Und was ist daran ein Problem?
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