Flussintegral einer Halbsphäre |
| 26.01.2018, 20:02 | Cicero3220 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Flussintegral einer Halbsphäre Hallo zusammen, Die Aufgabenstellung ist im Anhang, da ich zu blöd für Latex bin. Prinzipiell hab ich eine Halbsphäre gegeben und soll nun für ein Vektorfeld das Flussintegral ausrechnen. Das aktuelle Skript liefert mir zwei Wege, so ein Integral zu lösen: 1. durch Gauß und 2. durch die Parametrisierung des Normalenfelds. Meine Ideen: Die reguläre Fläche hat allerdings meinem Verständnis nach die Gestalt einer halben Sphäre - das Skript erlaubt den Satz von Gauß aber nur bei Körpern mit glattem Rand. Der alternative, wenn auch nicht erklärte Weg ist die Parametrisierung von n, welche aber nicht im Skript erklärt wird. Wie gehe ich so einen Aufgabentyp an? Die Divergenz von F ist ja dankbar einfach und legt den Satz von Gauß nahe, unter "glattem Rand" verstehe ich aber, dass eine halbe Kugel nicht erlaubt ist. Wie man ein Normalenfeld parametrisiert, damit man es direkt in die obere Gleichung einsetzen kann wurde leider nicht besprochen. Wie kann ich mir die Einheitsnormale eines gekrümmten Körpers überhaupt vorstellen und inwieweit schaffe ich es dadurch, sie mathematisch auszudrücken? Vielleicht gibt es auch einen deutlich einfacheren Weg, den ich nicht sehe... Vielen Dank im Voraus für jede Idee zu der Aufgabe. |
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| 27.01.2018, 00:59 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, man könnte schauen, ob man irgendwelche schönen Symmetrien findet, die man ausnutzen kann. Ich habe aber leider keine gefunden. Wenn man von x zu -x übergeht, passiert nichts Symmetrisches; auch nicht, wenn man es in zwei oder allen drei Variablen tut. Ich würde mir das Integral über den anderen Teil der Sphäre, mit x <= 0, mal explizit aufschreiben. Falls man so noch nichts sieht, mal Kugelkoordinaten einsetzen, vielleicht wird da was gleich? Die Summe dieser beiden Integrale kannst du ja mit Gauß einfach bestimmen. Wenn du nun das Integral über die untere Sphäre mit x<=0 zu demjenigen über die obere Sphäre mit x >= 0 irgendwie in Beziehung setzen kannst, kommst du vielleicht zum Ziel. Falls das nicht klappt, bleibt dir nur - wieder vorzugsweise unter Verwendung von Kugelkoordinaten -, "zu Fuß" zu rechnen. Bei geschicktem Umgang mit trigonometrischen Identitäten etc. kriegt man das auch hin. LG sibelius84 |
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| 27.01.2018, 10:11 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Flussintegral einer Halbsphäre
Der Rand muss nur abschnittsweise glatt sein, siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fscher_Integralsatz Es empfiehlt sich aber, auch die direkte Berechnung von Oberflächenintegralen zu lernen. |
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| 27.01.2018, 10:45 | Cicero3220 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hast du vielleicht eine Website im Kopf, die das ganze halbwegs human erklärt? Wenn ich es mit der Divergenz ausrechne in Kugelkoordinaten, kriege ich mehrere hässliche Produkte mit sin^3 raus, die ich wohl in halbwegs humaner Zeit niemals integriert kriege. Irgendeine Periodizität sehe ich auch nicht, da ich in Kugelkoordinaten ja nicht von 0 bis 2pi integriere. Die Einheitsnormale direkt darzustellen verstehe ich auch nicht, bei den einzigen ähnlichen Rechnungen, die ich im Netz finde, wird das mit spitzen Klammern (Skalarprodukt? Haben wir auf jeden Fall nie eingeführt) dargestellt. |
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| 27.01.2018, 12:25 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du die Divergenz zunächst in kartesischen Koordinaten ausrechnest, siehst du sofort, dass sie in Kugelkoordinaten einen sehr einfachen Ausdruck annimmt. Wenn du die Transformation auf Kugelkoordinaten umständlich mit den bekannten Transformationsformeln machen willst, beachte den trigonometrischen Pythagoras. Mit seiner Hilfe kommst du auch auf das simple Ergebnis. |
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