Markovkette Eigenvektor/Eigenwerte

27.01.2018, 20:51	Sachsen20	Auf diesen Beitrag antworten »
Markovkette Eigenvektor/Eigenwerte Meine Frage: Hallo, Ich bin gerade am lernen für eine Klausur. Meine Frage zum Thema Markov-Kette ist folgende: Was haben Eigenvektoren und Eigenwerte mit der Markovkette zu tun? Einfach erklärt bitte. Meine Ideen: Ich habe eine Aufgabe. Daraus kann ich die Übergangsmatrix bilden. Dazu die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen. Welche Aussage geben mir diese?
27.01.2018, 22:02	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Sachsen20, speziell für den Eigenwert 1 handelt es sich um einen Fixvektor und damit um eine stationäre Verteilung: https://de.wikipedia.org/wiki/Station%C3%A4re_Verteilung Falls du andere Eigenwerte hast als 1, so sind dies eben Zustände, so dass die Verhältnisse der Variablen von einem in den nächsten Zustand gleich bleiben. Wäre aber etwas merkwürdig. Grüße sibelius84
28.01.2018, 10:50	Sachsen20	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für deinen Beitrag. Das heißt, wenn ich z.B. für Q^2, Q^10, Q^20 den Eigenvektor berechne. Erhalte ich zunächst Eigenvektoren von: 1 0.0361 Bei mehr durchläufen erhalte ich: 1 0 Damit habe ich dann meinen stationären Zustand gefunden?
28.01.2018, 13:54	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du eine quadratische, endliche [stochastische] Übergangsmatrix Ü gegeben hast, berechne ihren Eigenvektor x zum Eigenwert 1 über den Ansatz $\begin{eqnarray} Üx\stackrel{!}=x \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} (Ü-E_n)x\stackrel{!}=0 \end{eqnarray}$ . Dies ist dann der stationäre Zustand. Übrigens ist der gefundene Vektor x ebenfalls Eigenvektor zum Eigenwert 1 für jede beliebige Potenz von Ü, ganz einfach aus folgendem Grund: Er erfüllt ja Üx=x, also wird in $\begin{eqnarray} Ü^k\cdot x = \underbrace{Ü\cdot\ldots\cdot Ü}_{k-mal}\cdot x \end{eqnarray}$ jedes Üx zu x und am Ende steht wieder einfach x da.
29.01.2018, 15:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sei noch erwähnt, dass die stationäre Verteilung durchaus nicht eindeutig sein muss: Wenn z.B. der Zustandsraum nicht zusammenhängend ist, d.h., die Ü-Matrix aus mehreren Diagonal-Blockmatrizen (und außerhalb Null) besteht. Das äußert sich dann darin, dass der Eigenraum zum Eigenwert 1 eine Dimension größer 1 hat. Triviales Beispiel dazu wäre die Einheitsmatrix als Übergangsmatrix: Dort ist dann jede Verteilung auf den Zuständen eine stationäre Verteilung, schlicht weil es in diesem Trivialfall ja nie Zustandswechsel gibt, der Eigenraum zum Eigenwert 1 hat die volle Dimension n (=Anzahl der Zustände).

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