Integral berechnen

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Tanja Heuss Auf diesen Beitrag antworten »
Integral berechnen
Wie berechne ich dieses Integral? Was genau soll der limes davor?


sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Julia,

der Limes davor sorgt dafür, dass neben der oberen Integrationsgrenze auch das n, das da unten im Nenner steht, gegen Unendlich geht.

Du hast zwei Möglichkeiten:

(1) Elementare Berechnung mithilfe der Umformung



und dann zunächst substituieren, dann noch eine geeignete lineare Substitution, um den Nenner auf die Form mit einem zu bringen und dann mit dem arctan zu integrieren. Der Wert des Integrals hängt von n ab; anschließend könnte man das n gegen Unendlich laufen lassen.

(2) geschickter, falls in der VL schon behandelt: zB Satz von Lebesgue über dominierte Konvergenz anwenden. 1/x² könnte eine geeignete integrierbare Majorante sein. Dann darfst du (ggfs. noch unter ein paar weiteren Voraussetzungen, am besten noch mal genau nachprüfen) Integral und Grenzwert vertauschen und bekommst ruckzuck dein Ergebnis.

LG
sibelius84
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Eine direkte Berechnung geht auch mit der Substitution . Das Integral transformiert sich zu

Tanja Heuss Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, erstmal Danke für die Antworten

ich verstehe den Satz von Lebesgue über dominierte Konvergenz/majorisierte Konvergenz nicht. Überall wo ich bisher geschaut habe ist nur Definition aber kein Beispiel angegeben und ich Tape im dunkeln. Aber damit soll es wohl gelöst werden.

- ich brauche messbare Funktionen
- die Punktweise konvergieren
- durch eine weitere messbarer Funktion majorisierbar un


ja... Keine Ahnung wie ich das anwenden soll

Soll ich irgendeine majorante finden alle fn majorisert? Wie soll ich das machen? Dann darf ich integral und limes vertauschen... Ich verstehe leider nichts traurig Es gibt kein einziges Zahlenbeipsiel mit Zahlenr :-(
Tanja Heuss Auf diesen Beitrag antworten »

Also... ich versuche es (Glaube aber selber nicht daran)

konvergiert Punktweise gegen 0 (einfach weil es so ist. Ich sehe es nicht, fühle mich nicht wohl sowas zu behaupten, aber gut ich brauhe ja eine Funktion die Punkweise konvergiert, sehe es nicht wirklich das sie Punktweise konvergiert)

und kann durch majorisiert werden.
(Mischung aus Skript und Sibelius84 Hinweis mit 1/x^2)

also Konvergiert die folge der Integrale gegen 0 nach dem Satz über die majorisierte Konvergenz
(und ich habe keinen Schimmer was ich hier sage. Das ist echt übel- ich könnte losheulen)

Und was soll ich integrieren...Das ist so mies traurig
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tanja Heuss
Also... ich versuche es

konvergiert Punktweise gegen 0

und kann durch majorisiert werden.
(Mischung aus Skript und Sibelius84 Hinweis mit 1/x^2)

also Konvergiert die folge der Integrale gegen 0 nach dem Satz über die majorisierte Konvergenz


Bravo! Freude


Punktweise Konvergenz bedeutet übrigens, dass bei festgehaltenem x die Folge konvergiert. Z.B. ist auf [0,1) punktweise konvergent gegen 0, weil für jedes feste x, was man einsetzen könnte, die Folge mit den Gliedern eine Nullfolge bildet. Damit kannst du ganz leicht sehen, warum in deinem Fall die Funktionenfolge punktweise gegen 0 konvergiert.
 
 
Tanja Heuss Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Wie kommt man auf g(x)= 1/x^2?

Und wie integriere ich jetzt?

So:

Es ist



Daher ist eine integrierbare Majorante (Frage.. "eine"... Kann ich etwas anderes wählen was auch Größer als der Rest wäre und das dann integrieren? Oder muss ich auf diese Majorante kommen...)

(Da ich unebdeingt integieren möchte... ok die Aufgabe war es das Integral zu berechnen. Fühle mich gezwungen eine Lösung zu finden... verwirrt )

Es gilt



Und wenn das stimmt... Ich verstehe nicht ganz was die Grenzen mit Limes vertauschen gebracht hat... Was passiert da Bildlich? So habe ich nur damit gespielt.. traurig
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast da wohl was falsch verstanden: Die Existenz des Integrals über die Majorante ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass man Integration und Grenzwertbildung bei den vertauschen darf. Es bedeutet aber NICHT, dass dieses Integral bzw. Grenzwert der Integrale gleich dem Integral über die Majorante ist. Insofern ist das Gleichheitszeichen = hier

Zitat:
Original von Tanja Heuss

falsch. unglücklich
Tanja Heuss Auf diesen Beitrag antworten »

also hab ich nichts verstanden. und habe immernoch keine Ahnung wie ich diese "wunderbare" Aufgabe lösen soll...


Ach ist doch alles... Klo

Ja keine Ahnung ist wohl einfach ich solls den Satz über die Major. Konvergenz lösen und komme nicht weiter. Hatte dank Sibelius84 einen Hoffnungsschimmer, jetzt zerbricht die Welt wieder.


KOOOOOOOOOOOOOOOOOOOTZ
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Güte, du hast doch alles vorliegen, du musst es nur richtig aufsammeln:


(1) Das Integral über die Majorante ist endlich --> Du darfst den Satz von Lebesgue anwenden, d.h., Grenzwertbildung und Integration vertauschen.

(2) konvergiert für punktweise gegen 0. Laut (1) gilt damit



Die noch verbleibende furchtbar komplizierte Rechnung überlasse ich mal dir. smile
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tanja Heuss
Es ist



Daher ist eine integrierbare Majorante (Frage.. "eine"... Kann ich etwas anderes wählen was auch Größer als der Rest wäre und das dann integrieren? Oder muss ich auf diese Majorante kommen...)


Nein, es reicht irgendeine Majorante. (Das sagt schon so ein wenig der Begriff 'Majorante': Irgendetwas finden, was größer ist und konvergiert.)


Die Beiträge von HAL 9000 verfolgen vermutlich weder die Absicht, noch sind sie geeignet, deinen Hoffnungsschimmer zu beeinträchtigen. Augenzwinkern Du hattest es doch oben. Die Funktion geht punktweise gegen 0, weil ein n im Nenner steht. Man darf den Satz über majorisierte Konvergenz anwenden, weil zB oder integrierbare Majoranten sind. Augenzwinkern Also draufhauen und plattmachen. Sobald du verinnerlicht hast, dass es genau dies zu verstehen gibt und sonst nichts, hast du es verstanden.
Tanja Heuss Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich sowas hätte wie:



Kann ich also sagen




daher ist



eine integrierbarer Majorante.
Aber das Integral über diese Majorante ist gar nicht endlich ... sondern = unendlich... wenn ich es integriere ist es unendlich.... aaaah... Dann kann ich hier den Satz nicht anwenden?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tanja Heuss
Dann kann ich hier den Satz nicht anwenden?

So ist es.

Zitat:
Original von sibelius84
Die Beiträge von HAL 9000 verfolgen vermutlich weder die Absicht, noch sind sie geeignet, deinen Hoffnungsschimmer zu beeinträchtigen.

Vielen Dank für die Blumen mit dem vermutlich. Augenzwinkern

Ich weiß nicht, was so verkehrt daran sein soll, einen Riesenbock wie den oben mit "Integralgrenzwert = Integral über Majorante" deutlich zu benennen, damit er nie wieder passiert. Und ich hab mich ja nun wirklich milde ausgedrückt. Augenzwinkern
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Deshalb ja auch die Blumen mit dem "...noch sind sie geeignet" Big Laugh Das 'vermutlich' war übrigens einfach der angebrachten Objektivität geschuldet, da ich mir nicht anmaßen kann, über deine Motive Bescheid zu wissen. Vermutlich wird eines einfach die Verbreitung mathematischer Erleuchtungen sein, so wie bei mir und gar zu vielen anderen hier. Augenzwinkern
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