Fragen rund um Integritätsringe

29.01.2018, 21:32	Chrissi1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Fragen rund um Integritätsringe Meine Frage: Hallo zusammen! Ich beschäftige mich gerade mit Idealen und Integritätsringe und habe dazu ein paar sehr elementare Fragen, also nehmt es mir nicht übel wenn euch diese vielleicht auch als dumm oder trivial erscheinen. Meine Ideen: Ich möchte gerne den Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_{2} = \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray}$ genauer betrachten. Und noch genauer den Ring $\begin{eqnarray} R= \mathbb F_{2} / I = \mathbb F_{2} / (f) = \mathbb F_{2} / (x^2 +x +1) \end{eqnarray}$ Diesen haben wir auch mal in der Vorlesung als Beispiel genommen und dort wurde gesagt das gilt: $\begin{eqnarray} R= \left\{ a+bx \| a,b\in \mathbb F_2 \right\} = \left\{ 0,1,x,x+1\right\} \end{eqnarray}$ So ich weiß das $\begin{eqnarray} R= \mathbb F_{2} / I \end{eqnarray}$ zu interpretieren ist, als das ich die Relation $\begin{eqnarray} x^2 +x +1=0 \end{eqnarray}$ in F2 einführe, womit dann auch gilt: $\begin{eqnarray} x^2 +x =1 , x^2 +1 =x \end{eqnarray}$ sodass also alle Polynome zweiten Grades mit Koeffizienten aus F2 auf andere Elemente aus dem Ring abgebildet werden. Jedoch was ist mit Polynomen vom größeren Grad als 2, also zb. $\begin{eqnarray} x^3 +x +1 \end{eqnarray}$ wie kann ich erklären das diese auch in R liegen bzw. auf andere Elemente aus R abgebildet werden? Ich weiß das f irreduzibel ist und auch das $\begin{eqnarray} R =K /(f) \end{eqnarray}$ Körper ist genau dann wenn f irred. ist und wenn R Körper ist, ist R auch Integritätsring. Also ist R Int-ring. Dies ist mir soweit klar. Aber wie kann ich mir jetzt zum Beispiel $\begin{eqnarray} R =F_2 /(x^2 +x) \end{eqnarray}$ als Menge vorstellen? Darin würde ja die Relation $\begin{eqnarray} x^2 +x=0 \end{eqnarray}$ gelten, bzw. $\begin{eqnarray} x^2 =x \end{eqnarray}$ also müsste ja $\begin{eqnarray} x^2+x+1 =x +x +1= 2x+1 =1 mod2 \end{eqnarray}$ gelten und die Menge ja genauso wie vorher $\begin{eqnarray} R= \left\{ 0,1,x,x+1\right\} \end{eqnarray*}$ sein oder nicht??
29.01.2018, 22:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst immer nach einem irreduziblen Polynom vom Grad n faktorisieren, dann bekommst du einen Körper der Ordnung $\begin{eqnarray} q=p^n \end{eqnarray}$ , also eine Erweiterung vom Grad n. Im Körper ist x^2=x+1, im Ring ist x^2=x, also die Strukturen verschieden. Wegen x(x+1)=x^2+x=0 sind x und x+1 Nullteiler des Rings.
30.01.2018, 12:49	chrissi1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Das x und x+1 Nullteiler in $\begin{eqnarray} \mathbb R^ = \mathbb F_2[X] /(x^2+x) \end{eqnarray}$ Nullteiler sind, war mir soweit auch bewusst und da R dann nicht nullteilerfrei ist und somit kein Integritätsring, insb. kein Körper ist, konnte ich auch noch folgern. Aber irgendwie verstehe ich noch nicht ganz wieso $\begin{eqnarray} R = \mathbb F_2 /(x^2+x+1) = \left\{ 0,1,x,x+1\right\} \end{eqnarray}$ gilt, denn $\begin{eqnarray} \mathbb F_2[X] \end{eqnarray}$ besteht doch aus allen Polynomen mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 =\left\{0,1\right\} \end{eqnarray}$ , sprich darin sind ja auch Polynome wie z.b. x^3+x^2+1 oder x^4+x^2+x+1 enthalten oder nicht ? Genau deshalb habe ich mich schon im erten Beitrag gefragt wo diese Polynome hin sind in $\begin{eqnarray} \mathbb R = \mathbb F_2[X] /(x^2+x+1) =\left\{ 0,1,x,x+1\right\} \end{eqnarray}$ bzw. auf welche anderen Elemente dieses Körper sie abgebildet werden? Und die zweite Frage ist, wenn ich $\begin{eqnarray} \mathbb R^ = \mathbb F_2[X] /(x^2+x) \end{eqnarray}$ betrachte, wie ist dies dann als Menge zu beschreiben, denn grundsätzlich komme ich mit der Relation x^2+x=0 die darin nun gilt auf die selbe Menge wie R ( x^2=x also x drin, x^2+1=x+1 also x+1 drin, x^2+x+1=1 also 1 drin , x^2+x=0 also 0 drin) sprich $\begin{eqnarray} \mathbb R^* = \mathbb R =\left\{ 0,1,x,x+1\right\} \end{eqnarray*}$ oder wo liegt mein Fehler?
30.01.2018, 13:49	chrissi1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein anders Beispiel wäre auch noch: $\begin{eqnarray} \mathbb Z[X]/(9,X-5) \cong \mathbb F_9[X] /(X-5) \cong \mathbb F_9[X] \end{eqnarray}$ Da bin ich mir bei der letzten Isomorphie nicht ganz bewusst, ob ich diese richtig verstehe. Es gelte ja nun die Relation das x-5=0 bzw. x-5 = x+4 mod 9, damit wäre ja x+4=0 die geltene Relation und somit auch x=-4 bzw. x=5 mod 9. Das verstehe ich nun so, als das die Polynome aus dem Ring die Form haben: $\begin{eqnarray} f=...+ a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 5 + a_0 \end{eqnarray}$ wodurch nun aber F9[X] eigentlich nicht eingeschränkt wird, da das x einfach schon einen festen Wert hat, welcher ja in F9 enthalten ist, sehe ich das richtig ?
30.01.2018, 13:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x^2+x+1=0\Rightarrow x^2=x+1, x^3=x^2+x=1,x^4=x,... \end{eqnarray}$ Wenn man nach einem Polynom vom Grad n faktorisiert, lassen sich alle Potenzen $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$ und höher umrechnen. es bleiben also im Körper und Ring nur die Linearkombinationen $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n-1}a_kx^k \end{eqnarray}$ übrig. Das letzte Beispiel verstehe ich noch nicht. das würde doch X=5 bedeuten. Müsste da nicht $\begin{eqnarray} \mathbb F_9 \end{eqnarray}$ herauskommen ?
30.01.2018, 14:30	chrissi1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast vollkommen recht, im zweiten Beispiel ist $\begin{eqnarray} \mathbb F_9 \end{eqnarray}$ das Ergebnis. Und ich glaube das ist schon das fehlende Puzzlestück wonach ich suche, also gilt hier $\begin{eqnarray} x^3 = x^2 x = (x+1)x = x^2 + x =1 , x^4 = x^2 x^2 = (x+1)(x+1) = x^2 +2x +1= x^2+1=x \end{eqnarray}$ korrekt ? Danke dir, das hat mir sehr geholfen!
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30.01.2018, 16:14	chrissi1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurz zur Überprüfung meines Verständnisses, gilt dann auch: $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 [X] /(1) \cong \mathbb Z[X] /(1,2) \cong \mathbb Z[X] /(1) \cong (\mathbb Z/1 \mathbb Z )[X] \cong \left\{ 0 \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 [X] /(0) \cong \mathbb Z[X] /(0,2) \cong \mathbb Z[X] /(0) \cong (\mathbb Z/0 \mathbb Z )[X] \cong \left\{ \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 [X] /(X) \cong \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 [X] /(X+1) \cong \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ ?? Und kann ich $\begin{eqnarray} R = \mathbb F_2 [X] /(X^2+X+1) \cong ? \end{eqnarray}$ noch "umschreiben" bzw. gilt hier auch $\begin{eqnarray} R = \mathbb F_2 [X] /(X^2+X+1) \cong \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ wobei das ja nicht ganz richtig ist, da wir noch x und x+1 im Körper haben. Gibt es eine spezielle Bezeichnung für die Menge $\begin{eqnarray} R = \left\{ 0,1,x,x+1 \right\} \end{eqnarray}$ ?
30.01.2018, 18:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Die Berechnung der Potenzen geht einfacher so wie ich es gemacht habe. Man muss nicht immer wieder von vorne anfangen. Beachte z.B. $\begin{eqnarray} x^3=1\Rightarrow x^4=xx^3=x1=x \end{eqnarray}$ b) Spezielle Faktorringe $\begin{eqnarray} R/(1)\cong \{0\}, R/(0)\cong R, R[X]/(X+a)\cong R \end{eqnarray}$ c) Körpererweiterungen endlicher Körper $\begin{eqnarray} (f(X))\in \mathbb F_p[X], grd(f(X))=n, f(X) \end{eqnarray}$ irreduzibel $\begin{eqnarray} \Rightarrow \mathbb F_p[X]/(f(X))\cong \mathbb F_{p^n} \end{eqnarray}$ . Das sind alle endlichen Körper, die es gibt. Als $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ -Vektorraum sind sie isomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb F_p^n \end{eqnarray}$ . Also ist z.B. $\begin{eqnarray} \mathbb F_2[X]/(X^2+X+1)\cong \mathbb F_4\cong \mathbb F_2^2 \end{eqnarray}$

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