Ableitung cos(x) Herleitung

30.01.2018, 12:42

Jekyllvshyde

Ableitung cos(x) Herleitung

Meine Frage:
Ich sitze gerade an der Herleitung der Ableitung vom Cosinus. War eigentlich auch kein Problem, habe dann aber einen Beweis im alten Skript gefunden, der genau gleich ist bis auf die letzten beiden Zeilen und nun bin ich mir nicht mehr ganz sicher.

$\begin{eqnarray*} -\sin(x)*\left[ 1+\lim_{h \to 0} \frac{\sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}*\frac{h^{2k+1}}{\left(2k+1\right) !} }{h} \right] \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Beim kürzen vom h wurde in dem Beweis dann nicht nur der Exponent im Zähler gekürzt sondern auch der Nenner wurde zu (2k)!, ich in meinem Beweis habe den Nenner unberührt gelassen. Die Frage was richtig ist, auch wenn es für weitere Untersuichungen keinen Unterschied mehr macht.

30.01.2018, 12:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jekyllvshyde
Beim kürzen vom h wurde in dem Beweis dann nicht nur der Exponent im Zähler gekürzt sondern auch der Nenner wurde zu (2k)!

Riecht danach, als hätte man da nicht gekürzt, sondern L'Hospital angewendet. Ist hier aber wirklich nicht nötig.

30.01.2018, 14:02

Jekyllvshyde

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Also laut Beschreibung wurde einfach nur vereinfacht

30.01.2018, 14:07

HAL 9000

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"Vereinfachen" ist ein weites Feld - mancher zählt da vielleicht auch einen L'Hospital-Schritt dazu. Augenzwinkern

30.01.2018, 14:17

klarsoweit

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RE: Ableitung cos(x) Herleitung

Zitat:

Original von Jekyllvshyde
habe dann aber einen Beweis im alten Skript gefunden

Da wird also etwas aus einem Skript rausgepickt und wir müssen jetzt rätseln, was da sonst noch stand? verwirrt

30.01.2018, 14:40

Jekyllvshyde

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Habe alles geschrieben, was dabei steht. L'Hospital wurde definitiv nicht im Skript verwendet, da es erst viele Seiten später das erste mal auftaucht. Die Frage war nur ob ich einen Fehler beim Umformen gemacht habe oder ob sich im alten Skript verschrieben wurde.

30.01.2018, 14:45

Jekyllvshyde

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Schreibe aber den Schritt gerne noch einmal ausführlich auf:

Im Script:

$\begin{eqnarray*} -\sin(x)*\left[ 1+\lim_{h \to 0} \frac{\sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}*\frac{h^{2k+1}}{\left(2k+1\right) !} }{h} \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -\sin(x)*\left[ 1+\lim_{h \to 0} {\sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}*\frac{h^{2k}}{\left(2k\right) !} } \right] \end{eqnarray*}$

Und ich habe :
$\begin{eqnarray*} = -\sin(x)*\left[ 1+\lim_{h \to 0} {\sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}*\frac{h^{2k}}{\left(2k+1\right) !} } \right] \end{eqnarray*}$

30.01.2018, 14:45

HAL 9000

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Von mir aus auch "Interpretation als Differenzenquotient" genannt (was hier inhaltlich äquivalent zu L'Hospital ist), jedenfalls ist das für mich die einzig plausible Erklärung, wie man von $\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}\cdot \frac{h^{2k+1}}{(2k+1)!}}{h} \end{eqnarray*}$ plötzlich zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}\cdot \frac{h^{2k}}{(2k)!} \end{eqnarray*}$ übergeht.

Vor allem verstehe ich nicht, warum du so ewig lang draufrum reitest. Es kommt doch beidesmal im Grenzwert Null raus, also warum ewig lang da rumdoktern - bringt nichts.

30.01.2018, 14:50

Jekyllvshyde

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Naja wenn ich einen Fehler bei Umformen habe, bekomme ich nicht einen Punkt auf meine Aufgabe Big Laugh

Gehe also mal davon aus das ich es richtig habe, danke

30.01.2018, 14:54

HAL 9000

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Es gibt alternative Möglichkeiten, den Grenzwert zu erhalten. Nur weil man nicht den Weg einer wie auch immer gearteten Musterlösung beschreitet, muss es nicht gleich falsch sein.

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