Komplexe Fourierkoeffizienten

30.01.2018, 13:01

Hokkas87

Komplexe Fourierkoeffizienten

Meine Frage:
Hallo alle zusammen. Ich habe folgende Aufgabe. (Siehe Bild)

Meine Ideen:
Ich habe leider keine Ahnung wie ich das machen soll :/

30.01.2018, 16:15

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
Hier hilft jeweils die Identität $\begin{eqnarray*} \cos x = \frac 12 e^{i \cdot x} + \frac 12 e^{-i \cdot x} \end{eqnarray*}$ .

Kommst Du damit schon weiter?

Viele Grüße
Steffen

30.01.2018, 17:23

hokkas87

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
Dann hätte ich ja : $\begin{eqnarray*} ( \frac{e^{i4t}+e^{-i4t}}{2})^3 \end{eqnarray*}$ .

Wie rechne ich denn die Koeffizenten verwirrt

Irgendwie werde ich im Internet auch nicht schlau

30.01.2018, 17:30

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
Wenn das "hoch drei" nicht wäre, könntest Du die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} c_4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_{-4} \end{eqnarray*}$ direkt hinschreiben, es gibt dann ja auch nur diese. Wie würden sie lauten?

Und nun potenziere nach der Regel (a+b)³=...

30.01.2018, 17:44

hokkas87

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
wenn das "hoch drei" nicht wäre .. wären diese ja einfach nur 1 verwirrt

beim Ausmultiplizieren komme dann auf :

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{8}e^{-i4t} + \frac{3}{8}e^{i4t} + \frac{1}{8}e^{-i12t} + \frac{1}{8}e^{i4t} \end{eqnarray*}$

hmm

ich habe im internet gelesen das man irgendwie erst die normalen koeffizenten ausrechnen soll also nicht die Komplexen voll komisch

30.01.2018, 17:48

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten

Zitat:

Original von hokkas87
wenn das "hoch drei" nicht wäre .. wären diese ja einfach nur 1

Fast. Denk an den Nenner.

Zitat:

Original von hokkas87
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{8}e^{-i4t} + \frac{3}{8}e^{i4t} + \frac{1}{8}e^{-i12t} + \frac{1}{8}e^{i4t} \end{eqnarray*}$

Auch fast. Prüf den letzten Summanden noch mal.

Gut, dann hast Du vier statt zwei verschiedene c. Schreib die genauso hin wie gerade eben.

30.01.2018, 17:53

hokkas87

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
achso ja 1/2

und

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{8}e^{-i4t} + \frac{3}{8}e^{i4t} + \frac{1}{8}e^{-i12t} + \frac{1}{8}e^{i12t} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} c_{-4} =\frac{3}{8} , c_{4}=\frac{3}{8}, c_{12}=\frac{1}{8} und c_{-12} =\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

30.01.2018, 17:55

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
Perfekt! Und b ist auch nicht schwer, oder?

Viele Grüße
Steffen

30.01.2018, 18:03

hokkas87

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
Keine Ahnung ich habe nicht mal die a) verstanden. Ich habe einfach nur das getan was du gesagt hast unglücklich

Im internet werden die Koeffizenten mit Integralen beschrieben.. wir haben hier nichts integriert.

Es steht die Koeffizenten bestimmung wäre :

$\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! f(x) cos(n*x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n} =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! f(x) sin(n*x) \, dx \end{eqnarray*}$

und wenn wir diese zu einer Komplexen machen müssen wir zuerst an und bn bestimmen und können dann :

$\begin{eqnarray*} c_{n} =\frac{1}{2}(a_n-i*b_n) \end{eqnarray*}$

berechnen. Ich check das nicht :/

30.01.2018, 19:36

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
Es ist, wie wenn Du die ak und bk von f(x)=3sin4x-5cos2x berechnen müsstest. Die schreibt man doch auch einfach nur mit a2=-5 und b4=3 hin. Oder würdest Du da lieber mit den Integralen rummachen, wenn die Reihe schon dasteht? (Du kannst das natürlich zur Übung gerne tun.)

Hier ist es genauso, nur mit c statt a und b.

30.01.2018, 20:13

hokkas87

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
Okay danke. Ich habe die Integralberechnung mal schnell ausgeführt mit einem Rechner..

ich versuche mal die b). Wäre echt cool wenn du mal schauen könntest ob es so ok ist wie ich es mache...

zu i) Ich benutze nun wieder die exponential Darstellung von Cosinus also $\begin{eqnarray*} \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} cos(x+\phi)= \frac{e^{i(x+\phi)}+e^{-i(x+\phi)}}{2} \end{eqnarray*}$

somit hätten wir $\begin{eqnarray*} c_{x+\phi}= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_{-(x+\phi)}= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ stimmt das oder habe ich was übersehen ?

30.01.2018, 20:22

hokkas87

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
Also ich meinte eigentlich :

$\begin{eqnarray*} c_{-1}= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} c_{1}= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

30.01.2018, 20:33

hokkas87

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
nein tut mir leid das ist falsch.
Es sollte wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} c_{1}= \frac{e^{i \phi}}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_{-1}= \frac{e^{-i \phi}}{2} \end{eqnarray*}$ sein. Tut mir leid für die ganzen Antworten unglücklich

30.01.2018, 20:41

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
Richtig! Wie geht es weiter?

30.01.2018, 21:00

hokkas87

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
Also jetzt muss ich ja $\begin{eqnarray*} a_{n}, b_{n} \end{eqnarray*}$ bestimmen, mithilfe von c_n.
Es gilt ja $\begin{eqnarray*} c_n =\frac{1}{2}*(a_{n} -i*b_n) \end{eqnarray*}$ und ich bin mir jetzt nicht sicher aber ich würde jetzt $\begin{eqnarray*} b_n=0 \end{eqnarray*}$ setzen da es ja kein sinus gibt. $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ist ja nur der koeffizent von sinus. Damit würde folgen: $\begin{eqnarray*} \frac{e^{i\phi}}{2}= \frac{1}{2}a_{1} \end{eqnarray*}$
also gleich $\begin{eqnarray*} e^{i\phi}= a_{1} \end{eqnarray*}$ und Analog für c_-1 also $\begin{eqnarray*} e^{-i\phi}= a_{-1} \end{eqnarray*}$

Danke Steffen für die Hilfe

30.01.2018, 21:13

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
Nein, hier musst Du stur $\begin{eqnarray*} r \cdot e^{i \varphi}=r \cos \varphi + i r \sin \varphi \end{eqnarray*}$ verwenden. Es tauchen dann in der Tat Sinusterme auf, aber das ist nicht schlimm.

30.01.2018, 21:21

hokkas87

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
Schade.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} e^{i\phi} = \frac{1}{2}cos(\phi)+\frac{i}{2}sin(\phi) \end{eqnarray*}$

dann haben wir $\begin{eqnarray*} a_1=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} b_1=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} e^{-i\phi} = \frac{1}{2}cos(-\phi)+\frac{i}{2}sin(-\phi) \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} a_{-1}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} b_{-1}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

ich bin mir aber nicht sicher..

30.01.2018, 21:38

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
Das war etwas anders gemeint. Die beiden c sind doch komplex konjugiert zueinander! Aus ihnen berechnet man dann Real- und Imaginärteil a und b:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Konjugat...k)#Rechenregeln

PS: für heute muss ich Schluss machen. Vielleicht übernimmt jemand die Nachtschicht, ansonsten bis morgen!

30.01.2018, 21:49

hokkas87

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
hmm das verstehe ich jetzt leider nicht :/

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*(\frac{e^{i\phi}+e^{-i\phi}}{2} ) =\frac{1}{2} cos(\phi) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2i}*(\frac{e^{i\phi}-e^{-i\phi}}{2} ) =\frac{1}{2} sin(\phi) \end{eqnarray*}$

wenn das Unfug ist tut mir das echt leid unglücklich

31.01.2018, 09:48

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
Das ist überhaupt kein Unfug, sondern richtig. Nur eine Kleinigkeit: da die c-Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ aufaddiert werden, die a und b aber nur von Null bis $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ , müssen letztere im Wert noch verdoppelt werden. Es gilt somit:

$\begin{eqnarray*} a_k = c_k + c_{-k} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} b_k = i \cdot (c_k - c_{-k}) \end{eqnarray*}$

(Du hattest in Deiner letzten Gleichung das i im Nenner nicht rübergezogen, somit passt das auch.)

Gut, das heißt hier, wir haben nur zwei Fourierkoeffizienten, nämlich a1 und b1. Nun schreib die komplette "Reihe" für f(x) mal hin, dann strahlt Dich schon das gesuchte Additionstheorem an.

Viele Grüße
Steffen

31.01.2018, 11:10

Hokkas87

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
Hallo Steffen smile

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}cos(/phi)*cos(x) + \frac{1}{2}sin(/phi)sin(x) \end{eqnarray*}$

Also wenn die 1/2 nicht da wäre und sin(phi) negativ wäre dann hätten wir cos(phi+x) verwirrt

31.01.2018, 11:27

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
Es ist doch $\begin{eqnarray*} c_{1}= \frac{e^{i \phi}}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_{-1}= \frac{e^{-i \phi}}{2} \end{eqnarray*}$ .

Also ist

$\begin{eqnarray*} a_1= \frac{e^{i \phi} + e^{-i \phi}}{2} = \dots \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} b_1= i \cdot \frac{e^{i \phi} - e^{-i \phi}}2= i \cdot i \cdot \frac{e^{i \phi} - e^{-i \phi}}{2i}=\dots \end{eqnarray*}$

Jetzt?

31.01.2018, 11:39

Hokkas87

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
Achso ja jetzt haut es hin. Dankeschön Steffen. Was ich allerdings nichts so verstanden habe wie kommst du auf diese Formeln für an und bn? Warum müssen wir den doppelten Wert nehmen ? Muss ich immer so vorgehen wenn ich aus cn die Koeffizienten an und bn berechnen möchte ?

Vielen Dank Steffen Freude

31.01.2018, 11:52

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
Wie gesagt, das liegt daran, dass die a und b nur für die positive Frequenzachse definiert sind, die c aber für die komplette. Für Mathematiker ist eine solche Achse überhaupt kein Problem, und die Formel ist schön einfach. Aber Ingenieure kommen bei negativen Frequenzen ins Grübeln. Für die wurde die linke Hälfte gestrichen, mit der Konsequenz, dass die Komponenten (außer a0) alle verdoppelt werden müssen.

Meistens beginnt man Fourier mit den a- und b-Koeffizienten, paukt die Formeln rein und wundert sich dann, dass es mit c so anders aussieht. Didaktisch wäre es m.E. andersherum besser, aber Du weißt ja, die negativen Frequenzen...

Literaturempfehlung: Wiki.

Viele Grüße
Steffen

31.01.2018, 14:08

hokkas87

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RE: Komplexe Fourierkoffizenten
Okay ich verstehe.

ich danke dir Herzlich für deine Hilfe Steffen.

Mfg

hokkas

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