Ableitung beschränkt auf kompaktem Intervall Kontraktion?

01.02.2018, 07:36

Eumelchen

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Ableitung beschränkt auf kompaktem Intervall Kontraktion?

Meine Frage:

Ist I Teilmenge von R ein Intervall und f : I --> I differenzierbar mit Betrag von f'(x) kleiner 1 fur alle x aus I.
Zeigen Sie:
a) Fur kompaktes I ist f eine Kontraktion
b) Fur nicht-kompaktes I ist f im Allgemeinen keine Kontraktion

Meine Ideen:
b)Ist eine Seite des Intervalls offen [a,b) so kann die Funktion f' für x-->b gegen 1 streben. Damit gäbe es für f keine Zahl Lambda kleiner als 1 für das gilt Betrag von (f(y)-f(x))kleiner als Lambda mal Betrag von (y-x).
(Analog gilt dies auch für eine Intervalle die unbeschränkt sind.)
Beispiel: f(x)=e^(x-1), f'(x)=e^(x-1)Intervall [0,1)

a) Für kömpaktes Intervall ist es nun schwieriger. Ich kann hier zwar zeigen, dass Betrag(f(y)-f(x))kleiner als 1 mal Betrag von (y-x)ist. Aber nun ein festes Lambda kleiner 1 zu finden, so dass Betrag von (f(y)-f(x))kleiner als Lambda mal Betrag von (y-x)ist, fällt mir schwer, denn f' muss ja nicht stetig sein. Somit muss es keinen größten Wert von Betrag von f'(x) im Intervall geben. Außerdem schwirrt mir eine Idee von Funktion für f' im Kopf herum, die eigentlich ein Gegenbeispiel ist. Stell Dir eine Art Sinusfunktion für f' vor die für x-->b von unten gegen 1 strebt und deren Frequenz sich gleichzeitig erhöht. Für f'(b) müßte man dann einen geeigneten Wert festlegen, damit der Zwischenwertsatz für Ableitungen erfüllt ist ähnlich wie bei

f(x)=x²sin(1/x) für x ungleich 0 und f(x)=0 für x=0 differenzierbar mit
f verwirrt

verwirrt

x)=2xsin(1/x)?cos(1/x)für x ungleich 0 und f'(x)=0 für x=0 an der Stelle 0.

Welche Argumente gibt es gegen eine solche Funktion als Ableitung? Welche Argumente gibt es für die Existenz eines eines Lambda kleiner als 1?

01.02.2018, 14:37

IfindU

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RE: Ableitung beschränkt auf kompaktem Intervall Kontraktion?
Ich denke du hast Recht. Wenn ich das richtig sehe, ist $\begin{eqnarray*} f \colon [0,1] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \int_0^x \frac 1 { 1 + y} \sin(\frac 1 y)d y \end{eqnarray*}$ ein Gegenbeispiel. Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar in der 0 ist, habe ich partiell integrieren müssen. Hoffentlich habe ich mich da nicht verrechnet Big Laugh

Big Laugh

Dann wäre $\begin{eqnarray*} f'(0) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |f'(x) |<1 \end{eqnarray*}$ überall auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$

01.02.2018, 22:36

Eumelchen

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Ableitung beschränkt auf kompaktem Intervall Kontraktion?
Ich kann leider nicht diese Funktion f'(y) integrieren. Mein Ansatz wäre eher Sustitution. Aber bei mir tauchen immer wieder Integrale mit siny/y oder so auf. Da kann ich f(x) nicht explizit bestimmen und die Integrale bleiben stehen. Was ja math. kein Problem wäre. Aber ich muß ja f(x) bei x=o stetig fortsetzen und dann f'(0) bestimmen. Komme leider nicht weiter mit diesem Beispiel.

Eumelchen

02.02.2018, 10:38

IfindU

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RE: Ableitung beschränkt auf kompaktem Intervall Kontraktion?
Keine Sorge. Ich kann es auch nicht integrieren. Zum Glück muss man es aber auch nicht. Es ist ja nur zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar in der 0 ist mit Ableitung echt kleiner als 1.
Nach Definition also
$\begin{eqnarray*} f'(0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h) - f(0)}h = \frac 1 h \int_0^h \frac 1 {1+y} \sin(\frac 1 y) dy \end{eqnarray*}$ .
Und ich behaupte der Grenzwert ist 0. Dafür betrachte, dass
$\begin{eqnarray*} \frac 1 {1+y} \sin(\frac 1 y) = \frac { y^2} {1 + y} \frac {d}{dy} \left( \cos( \frac 1 y )\right) \end{eqnarray*}$ .
Das Integral oben kann man also nun per partieller Integration umschreiben.

Edit: Also hier sage ich nur, dass eine Funktion existiert, deren Ableitung immer strikt gleich 1 ist aber beliebig nahe an die 1 kommen kann. Dank dem Mittelwertsatz kann man dann argumentieren, warum die Lipschitzkonstante nicht echt kleiner als 1 sein kann.

10.02.2018, 14:22

Eumelchen

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Hallo, bin aus dem Urlaub zurück.
Nun kann es weiter gehen. Zunächst bin ich mir nicht sicher, ob $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty } \! 1/(y+1)sin(1/y) \, dy \end{eqnarray*}$ überhaupt in (0,1) existiert. Hier einfach mal wild drauflos gewurschtelt, (Bitte Kritik oder Korrektur)

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x} \! sin(1/y)/(1+y)\, dy= \int_{\infty }^{1/x} \! sinz/(z^{2}+z)\, dz = \int_{1/x}^{\infty } \!sinz/z \, dz -\int_{1/x}^{\infty } \! sinz/(z+1) \, dz \end{eqnarray*}$

Zum ersten Integral:
$\begin{eqnarray*} \int_{1/x}^{\infty } \!sinz/z \, dz=\int_{0}^{\infty } \! sinz/z\, dz-\int_{0}^{1/x} \! sinz/z\, dz \end{eqnarray*}$

Ergibt Pi/2- einen definierten Ausdruck da 1/x >0 ist.

Zum zweiten Integral:
$\begin{eqnarray*} \int_{1/x}^{\infty } \! sinz/(z+1) \, dz=\int_{1/x-1}^{\infty } \! sin(v-1)/v \, dv=cos1\int_{1/x-1}^{\infty } \! sinv/v \, dv-sin1\int_{1/x-1}^{\infty } \! cos(v)/v \, dv \end{eqnarray*}$

Da 1/x-1 > 0 für x aus (0,1) haben wir hier auch kein Problem. Also sollte $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty } \! 1/(y+1)sin(1/y) \, dy \end{eqnarray*}$ in (0,1) existieren. Sinnvoller Weise müßte nun f(0)=0 gesetzt werden, denn obere und untere Grenze stimmen überein, aber gilt wirklich

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \int_{0}^{x} \! sin(1/y)/(1+y) \, dy=0 \end{eqnarray*}$ ? Hier beschleicht mich ein Unbehagen!!!

Außerdem soll f : I --> I also [0,1] -->[0,1] sein. Bleiben die Funktionwerte im Intervall?

Nun zu Deinem Vorschlag:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! sin(1/y)/(y+1) \, dy = \int_{}^{} \! y^{2}/(1+y)*d(cos(1/y))/dy \, dy = y^{2}/(1+y)*cos(1/y)-\int_{}^{} \! cos(1/y)*d(y^{2}/(1+y))/dy \, dy= y^{2}/(1+y)*cos(1/y)-\int_{}^{} \! cos(1/y)*(y^{2}+2y)/(1+y)^{2}\, dy \end{eqnarray*}$

Hier ist irgendein Trick im Spiel, den ich nicht kenne. Wie kommst Du auf den Ansatz? Hintergedanken--> Was nützt uns das? Das Integral was übrig ist sieht auch nicht einladend aus.

Völlige Ratlosigkeit!!!

19.02.2018, 17:54

Eumelchen

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RE: Ableitung beschränkt auf kompaktem Intervall Kontraktion?
Hallo IfindU!
Bist Du zu sehr geschockt von meiner letzten Antwort oder hast Du sie einfach nicht gesehen???

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19.02.2018, 18:11

IfindU

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Zitat:

Original von Eumelchen
Hallo, bin aus dem Urlaub zurück.
Nun kann es weiter gehen. Zunächst bin ich mir nicht sicher, ob $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x} \! 1/(y+1)sin(1/y) \, dy \end{eqnarray*}$ überhaupt in (0,1) existiert. Hier einfach mal wild drauflos gewurschtelt, (Bitte Kritik oder Korrektur)

Da für alle $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \left |1/(y+1)sin(1/y)\right | \leq 1 \end{eqnarray*}$ existiert das Integral. Die nachfolgende Substitution erschwert das ganze. Anstelle der Beschränktheit des Sinus musst du mit den Oszillationen argumentieren und benutzen, dass es alternierend positiv und negativ ist. Damit kann man zeigen, dass es existiert. Etwas einfacher geht es mit partieller Integration, aber dafür müssen wir nicht zuerst substituieren, deswegen gehe ich hier mal nicht weiter drauf ein.

Zitat:

Außerdem soll f : I --> I also [0,1] -->[0,1] sein. Bleiben die Funktionwerte im Intervall?

Vermutlich nicht. Aber man die Funktionen um eine Konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ verschieben und dann ein Intervall $\begin{eqnarray*} [0,a] \end{eqnarray*}$ finden, so dass es eine Selbstabbildung ist. Ist mit Rechnerei verbunden und dafür würde ich wohl eine etwas andere Funktion nehmen. Dann wird das einfacher, aber das folgende schwerer.

Zitat:

Nun zu Deinem Vorschlag:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! sin(1/y)/(y+1) \, dy = \int_{}^{} \! y^{2}/(1+y)*d(cos(1/y))/dy \, dy = y^{2}/(1+y)*cos(1/y)-\int_{}^{} \! cos(1/y)*d(y^{2}/(1+y))/dy \, dy= y^{2}/(1+y)*cos(1/y)-\int_{}^{} \! cos(1/y)*(y^{2}+2y)/(1+y)^{2}\, dy \end{eqnarray*}$

Hier ist irgendein Trick im Spiel, den ich nicht kenne. Wie kommst Du auf den Ansatz? Hintergedanken--> Was nützt uns das? Das Integral was übrig ist sieht auch nicht einladend aus.

Völlige Ratlosigkeit!!!

Wie bereits gesagt ging es nie darum das Integral zu lösen. Es geht darum zu zeigen, dass die Funktion in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, mit Ableitung strikt kleiner 1. D.h. was zu zeigen ist, ist effektiv
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac 1 x\int_{0}^{x} \! sin(1/y)/(y+1) \, dy = 0 \end{eqnarray*}$ . Um den Grenzwert auszurechnen, wollte ich eben partiell integrieren. Demnach ist
$\begin{eqnarray*} \frac 1 x\int_{0}^{x} \! sin(1/y)/(y+1) \, dy =\frac 1 x \left ( x^{2}/(1+x)*cos(1/x)-\int_{0}^{x} \! cos(1/y)*(y^{2}+2y)/(1+y)^{2}\, dy\right) \end{eqnarray*}$ .

Den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ kann man, z.B., mit L'Hospital bestimmen.

24.02.2018, 16:38

Eumelchen

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Ableitung beschränkt auf kompaktem Intervall Kontraktion?
Ok,
also nochmal, was ist $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x} \! sin(1/y)*1/(y+1) \, dy \end{eqnarray*}$ . Da sin(1/y)*1/(y+1) für 0 nicht definiert ist, können wir nur von einem uneigentlichen Integral ausgehen, also $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 0} \int_{a}^{x} \!sin(1/y)*1/(y+1) \, dy \end{eqnarray*}$ . Da sin(1/y)*1/(y+1) beschränkt ist auf (0,1] müßte das Integral existieren, auch wenn wir hier kein abgeschlossenes Intervall [0,1] haben. Mittels Integralrechner erhalte ich folgende Stammfunktion G(x) grahisch (siehe Anhang). G(0) existiert nicht aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} G(x)=-0,72209.... \end{eqnarray*}$ . Unsere Funktion f(x) könnte dann $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x} \! sin(1/y)*1/(y+1) \, dy=G(x)-\lim_{x \to 0} G(x) \end{eqnarray*}$ sein für 0<x<=1 und $\begin{eqnarray*} lim_{x \to 0} G(x) \end{eqnarray*}$ für x=0 . Damit stimmt auch f(0)=0.
(Ich bin lang aus der Mathematik raus hab schon vieles vergessen und muss eventuell Sachen für mich hinterfragen, die Dir sonnenklar erscheinen.)
Nun weiter zu f'(0):
Warum nicht gleich $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 } (f(x)/x) \end{eqnarray*}$ nach L'Hospital bestimmen. Wir hätten doch den Fall "0/0".

24.02.2018, 17:27

Eumelchen

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Ableitung beschränkt auf kompaktem Intervall Kontraktion?
2.Versuch

Ok,
also nochmal, was ist $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x} \! sin(1/y)*1/(y+1) \, dy \end{eqnarray*}$ . Da sin(1/y)*1/(y+1) für 0 nicht definiert ist, können wir nur von einem uneigentlichen Integral ausgehen, also $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 0} \int_{a}^{x} \!sin(1/y)*1/(y+1) \, dy \end{eqnarray*}$ . Da sin(1/y)*1/(y+1) beschränkt ist auf (0,1] müßte das Integral existieren, auch wenn wir hier kein abgeschlossenes Intervall [0,1] haben. Mittels Integralrechner erhalte ich folgende Stammfunktion G(x) grahisch (siehe Anhang). G(0) existiert nicht aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} G(x)=-0,72209.... \end{eqnarray*}$ . Unsere Funktion f(x) könnte dann $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x} \! sin(1/y)*1/(y+1) \, dy=G(x)-\lim_{x \to 0} G(x) \end{eqnarray*}$ sein für 0<x<=1 f(x)=0 für x=0.
f(x) ist ja nun G(x)+0,72209 und dann erkennt man im Diagramm , das f(x) auch im Intervall bleibt. Das ist auch mittels Flächeninhaltsbetrachtungen bei f'(x) einleuchtend.
Nun weiter zu f'(0):
Da L'Hospital nicht gleich bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 } (f(x)/x) \end{eqnarray*}$ angewendet werden kann, da der Grenzwert des Ableitungsquotienten nicht existiert, kommt nun deine Umformung ins Spiel. Ich kann die Grenzwertfindung nachvollziehen, aber wie kommst Du auf die Umformungsidee. Erfahrung? Falls noch Fehler in meinen Gedankengängen sind, bitte um Korrektur! Danke!!!

24.02.2018, 17:47

IfindU

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RE: Ableitung beschränkt auf kompaktem Intervall Kontraktion?
Wenn du es ganz genau haben willst:
Definiere $\begin{eqnarray*} g \colon [0,1] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} g(y) = \begin{cases} {\sin( \frac 1 y) }\frac 1 {1+y} & y > 0 \\ 0 & \text{ y = 0} \end{cases} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ Riemann-integrierbar (ist beschränkt ist und ist auf $\begin{eqnarray*} [a,1] \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ stetig, insbesondere Riemann-integrierbar. Daraus folgt es leicht).
Ausserdem ist $\begin{eqnarray*} |g(y) | \leq \frac 1 { 1 + y} \end{eqnarray*}$ , da Sinus durch 1 beschränkt ist.

Definiere $\begin{eqnarray*} f \colon [0,1] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(x) = \int_0^x g(y) dy \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig mit $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ . Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} x_n \in (0,1] \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge. Dann ist
$\begin{eqnarray*} |f(x_n)| \leq \int_0^{x_n} |g(y)| dy \leq \int_0^{x_n} 1 dy = x_n \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} x_n \to 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \lim f(x_n) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Woher du deinen krummen Wert herzauberst, entzieht sich mir.

24.02.2018, 22:37

Eumelchen

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Ableitung beschränkt auf kompaktem Intervall Kontraktion?
Dann ist g auf [0,1] Riemann-integrierbar (ist beschränkt ist und ist auf [a,1] für jedes a stetig, insbesondere Riemann-integrierbar.

--> Für a = 0 nicht stetig, denn genau das wollten wir ja vermeiden! Aber auf [0,1] beschränkt, da ja g(0)=0.

Mit f(0)=0 habe ich mich ja schon angefreundet.

Der krumme Wert war eine Vermutung, die sich aus der graphischen Darstellung ergab. Er diente nur für mich als Verständnishilfe für die Bedeutung von $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x} \! sin(1/y)/(1+y) \, dy \end{eqnarray*}$ .

Gut wir haben eine Funktion f definiert auf [0,1] deren Ableitung f'(x)=g(x) vom Betrag her immer kleiner als 1 ist, sich aber beliebig nah der 1 annähern kann, so dass es keine obere Schranke gibt, die kleiner als 1 ist. Meiner Meinung liegen die Funktionswerte auch wieder in [0,1]. Also hätten wir ein Gegenbeispiel gefunden.

Ich merk schon, meine Gedankengänge waren und sind etwas verworren und für andere schwer verständlich. Trotzdem vielen Dank für deine Geduld.

25.02.2018, 07:59

IfindU

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RE: Ableitung beschränkt auf kompaktem Intervall Kontraktion?
Ich meinte $\begin{eqnarray*} a > 0 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich schon sage, dass ich ausführlich sein will, sollte ich das auch tun Big Laugh

Big Laugh

Bleibt noch die Frage warum $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in der 0 differenzierbar ist mit Ableitung 0.

Du kannst gerne versuchen L'Hospital anzuwenden, aber du wirst feststellen, dass die Voraussetzungen nicht erfüllt sind. Daher erst einmal partiell integriert und dann geht es gut.

25.02.2018, 12:23

Eumelchen

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Ableitung beschränkt auf kompaktem Intervall Kontraktion?

Zitat:

Bleibt noch die Frage warum f in der 0 differenzierbar ist mit Ableitung 0. Du kannst gerne versuchen L'Hospital anzuwenden, aber du wirst feststellen, dass die Voraussetzungen nicht erfüllt sind. Daher erst einmal partiell integriert und dann geht es gut.

Ja genau diesen Weg bin ich gegangen. Musste L'Hospital noch mal genau anschauen, genauer gesagt die Voraussetzungen. Schnell kommt man in Versuchung von Grenzwert von f'(x)/g'(x) nicht existent auf Grenzwert von f(x)/g(x) nicht existent zu schließen, was ja Blödsinn ist. Aus jedem Irrweg nimmt man etwas mit.
Aber dein Trick mit der geeigneten partiellen Integration ist nicht schlecht. Wie bist Du darauf gekommen?

25.02.2018, 13:07

IfindU

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RE: Ableitung beschränkt auf kompaktem Intervall Kontraktion?
"Mein" Trick ist das uebliche Vorgehen in der harmonischen Analysis. Man hat das Produkt einer wunderschoene Funktion $\begin{eqnarray*} a(y) = \frac 1 { 1 + y} \end{eqnarray*}$ und einer unstetige Funktion $\begin{eqnarray*} b(y) = \sin( \frac 1 y) \end{eqnarray*}$ . Nun kann man $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ integrieren, wenn man dafuer $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ableitet. Da $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine glatte Funktion ist, macht es ihr nichts aus. Waeherenddessen wird $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ durch integrierern immer schoener. Danach hat man das Produkt von zwei schoenen Funktionen und damit laesst sich gut arbeiten.

25.02.2018, 15:42

Eumelchen

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Ableitung beschränkt auf kompaktem Intervall Kontraktion?
Ok, du schaust also wie eine Funktion aussehen soll, die sin(1/y) und kleines Anhängsel als Ableitung hat. Hier cos(1/x). Dann formst du das Ganze so um, dass ein Faktor genau die Ableitung ist, der andere Faktor ist dann hoffentlich noch angenehm. Dann partielle Integration und man hat statt sin(1/x) etwas mit cos(1/x). Nun hofft man, das hier die Untersuchungen leichter möglich sind. (Ohne Gewähr!)
Also einer der Versuche, die du ausprobierst und manchmal klappt es? Oder steckt noch mehr dahinter?

25.02.2018, 16:48

IfindU

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RE: Ableitung beschränkt auf kompaktem Intervall Kontraktion?
Ganz unsauber ist die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \sin(1/y) \end{eqnarray*}$ etwa $\begin{eqnarray*} y^2 \cos(1/y) \end{eqnarray*}$ . Die rechte Funktion ist nicht nur stetige, sondern differenzierbar (nachdem man sie mit 0 in der 0 fortsetzt). Das ist eben deutlich schöner als eine unstetige Funktion.

Sauber ist es dann: Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \cos(1/y) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac 1 {y^2} \sin(1/y) \end{eqnarray*}$ . Also kann man $\begin{eqnarray*} \frac 1 {y^2} \sin(1/y) \end{eqnarray*}$ leicht integrieren. Und man schreibt $\begin{eqnarray*} \sin(1/y) = y^2 \cdot \left(\frac 1 {y^2} \sin(1/y) \right) = y^2 \frac { d} { dy} \cos(1/y) \end{eqnarray*}$ . Und so kam ich auf die partielle Integration.

25.02.2018, 19:53

Eumelchen

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Ableitung beschränkt auf kompaktem Intervall Kontraktion?
Die partielle Integration und die Umformung hatte ich ja schon, war kein Problem. Aber mir fehlt einfach die Weitsicht, dass dann nach der part. Int. der Grenzwert leichter bestimmbar ist. Bisher habe ich eigentlich die part. Int. nur angewendet um ein Integral auszurechnen. Aber nun hat mir dieses Beispiel ja bewiesen, dass es noch andere nützliche Nebenerscheinungen haben kann.
Sehr schön!!!

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